II.I.I

Cjm-i

Ma-4-i

On V

valeurs arbitraires de x,, et sur les autres parallèles, à partir du même '^

axe, les suites correspondantes de valeurs respectivement déterminées pour ^*

les autres inconnues, on marquerait sur ces droites les points correspon- - — dants de /i + I ponctuelles semblables, dont les couples successifs

sont reliés respectivement par les faisceaux de rajons Si, S,, . . ., S„. U système de points correspondants, donné par une valeur quelconqu de X,, autre que OiUj, fera connaître les sommets d'une seconde ligne po — lygonale telle que UjU, ... U;,+i, et les deux lignes se couperont au«r^ -"^ centres Sj, S,, . . ., S„ des faisceaux. Parmi les lignes polygonales passan^^*"^/ par les centres ainsi déterminés, il en est une qui limite, sur les parallèleste^— ^> des segments égaux aux valeurs des inconnues qui satisfont aux équation^^*^ proposées : c'est celle qui, aboutissant à l'origine 0;,^.t, annule Tinconnv^K e auxiliaire x^^^ introduite dans la dernière équation. H suffira, pour '^^^ construire, de tracer successivement les rayons 0;,+i S„ coupant U,» .*» " point M;,, M;, S„,, coupant «w-i »" point M„,, ..., M, Sf» coupa«i^

RESOLUTION DE n ÉQrATIONS DU PREMIER DEGRÉ A // I.NCONNl'ES. lZ\

Ui au point M|. Les valeurs des Inconnues sont alors représentées, à réchelle de la figure, par les segments OiM,, 0,Mj, . . ., O^M;».

160. On peut déterminer les centres des faisceaux au moyen d'une seule ligne polygonale de fausse position en remarquant (155) que les distances de l'un quelconque de ces centres, S^ par exemple, aux parallèles Wp, «p^j qui le de'terminent, sont entre elles dans le rapport particulier

— Ç = lim.

relatif à Téquation de forme (c) qui lie entre elles les inconnues Xp, j^^+i. On divise, en conséquence, les deux membres des équations [b] respectivement par X|, jpj, . . . , j:-„; on fait tendre toutes ces variables vers Tinfini;

on change les signes des rapports r, = lim — , . . , r^ = lim -^-^ , . . , , et

les équations ( b ) deviennent, à la limite,

— 2(«j-h a,) -+-<7jr, = o,

- — 2(rt,4-fl3) -h a^r^=o,

fin I \

<roù Ton tire successivement les rapports suivant lesquels les segments

OiO„ 0,0„ .... 0„0;,^i

de l'axe sont divisés aux points P,, Pj, . . ., P^ par les parallèles au système de droites w, menées par les centres Sj, Sj, . . , S;,. On a, en effet,

Les j)oints P étant ainsi déterminés, on mènera les parallèles P|S,, P,S„ ..., qui rencontreront la ligne polygonale MiM^ . . . M„+, aux centres cherchés.

On a vu (15.H) que la distance rntie deux quelconques des droites u

•1^1 <:\i.ci:l gummuoi-k. — appk.ndick ni Tn\nicTErn au chaimthk vi.

étant inJotcrinince, il suffit, pour assujctiir un centre quelconque, tel que S^, il se trouver sur une droite doiuK'e s, parallèle aux droites i/, d'assigner à lip^xj que Ton trac<* après «^, une position telle que le rap|M)rt des distances de w,, et de Hp+i à la droite s soit égal à r^. On pourra donc, en satisfaisant à cette condition pour toutes les droites «, assujettir les centres de tous les faisceaux projetants à s'aligner sur la droite * (').

IX. — Résolution des équations du second degré. Méthode de Chasles. 161. Soient [fig. i lo) OX, OY deux droites fixes, coupées en X et en Y

Kip. 110.

par le rayon mobile SY d'un faisceau S. Si l'on désigne par «, 6, d lessinus» constants des angles SOX, XOY, SOY, par c, m, n les segments con — stants OS, OM, ON, par .r, y les segments variables MX, NY, on exprimera que la surface du triangle SOY est égale à la somme des surfaces dee=^ triangles SOX, XOY, au moyen de la relation

ac[m -h .A') -f- h[m -{- .r) [n H- j) — cd[n 4- j) = o,

soit, après réduction,

(i) 9.xy-\-^x-\- yr -]'â = O.

(') La inéthodo s'applique évidemmenl à dos équalioiis moins simplifiées et, notamment, au système do // équations contenant chacune les n inconnues, système qm* M. FoiKBT a considéré dans sa Communication précitée au Congrès de Nantes. >'ojjs avons choisi le système des équations («), parce qu'on y est conduit dans là st>Iulion d'un important problème de Statique appliquée. Voir Fobrkt, Détermination graphique des moments lîe flexion d'une poutre à plusieurs travées solidaires, dans les .'lunules des Ponts et Chaussées, 1876, 1" sem., p. /j^l. — Sachkri, Determinarione ^ra/ira dei montenti inflettenti su^li appo'^f^i di un ponte a piii travate, Toriiio, 18-'). — (^^OLLIGXON, Cours de Mécanique appliquée aux constructions. Résistance des inatéi iaiLi\ p. 307.

BCCOIXTIOX DES ÉQUATIONS DV SKatND Uh'iiHK, MkCIMOlir, SWH (MV»U4 '4 U

X et Tétant (G. iO] les points roiTt^>iM)niliUiU df \U^\\\ \\s\\w\\\s\W^ \^\\ 5|)eGtiveSy si Ton fait coluciilor imi nu^iiio tcnip^ h% liniN \U\ \v% yuws lurllt « elles points dWî^ine M et N, on obtient «Umix |Hiiirhiolltf>« pMijrt livi^ 4U|m i posées dont les couples de pointH eor^(^H|)ondiHlt)l, rii|i|iMilrii îi rtill^lMi commune MN, ne cessent pas «rentre lirn par riMpialinii |i). (!r.« |iMMt tuelles onty en général, deux éh'nieiitH unin (0. M\) <l(î|i<iMiiiMt« pMi l'i mhi dition x=^-, L*équation (i) d(-vient alorn

On obtient donc les racini,'» d*iim; é/pialiofi d#ï l« for^Mi ^4; ^m /j^^aImiI sant les points unis de^i pfnwAuM^ projV/:liv/'« ti/u^f wihh:* fMi I /^jM'i tion (i) et en mesurant les âinUwjrt d/; /:^ f^#iiiU ;> Vfff^^^m (* j-