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23 î CALCUL GRAPHIQUE. — APPENDICE DU TRVDICTEUR AU CHAPITRE VI.
On peut supposer que les trois variables x, j, x^ représentent les distances de trois points X, Y, Xi, mobiles sur une droite, à une origine fixe prise sur cette droite. La première équation exprime alors (161) que X et Y sont les points correspondants de deux ponctuelles projectives superposées et la troisième que les points Xi et Y sont liés entre eux par la même condition. Il s'ensuit (G. 4-1) que les ponctuelles décrites par les points X et X, sont aussi projectives entre elles, et, comme le système proposé ne peut être satisfait que pour .r z= j:,, les valeurs cherchées de x seront données par les distances des deux points unis XX| à Torigine commune.
Les valeurs de x s'ensuivront naturellement.
163. La même méthode peut être étendue à un nombre quelconque d'équations de la forme précédente
xjr -h 'kx -h i^x -f- V = o, Xz -f- lijr -4- pjZ -f- vj = g, zt -f- X,2 -4- fx,f 4-v, = 0,
-f->/ï»^ -hfi„a:-hv„— o.
Si Ton considère les variables x, j, 3, . . . comme représentant des segments portes sur une même droite, à partir d'une origine commune, chacune des n équations détermine deux ponctuelles projectives. Toutes ces ponctuelles sont projectives deux à deux; en particulier, celles qu'on déterminera en attribuant à x une iuite de valeurs arbitraires dans la pre-
mière équation et en déduisant la suite des valeurs correspondantes de dans la dernière, donneront, par leurs points unis, les valeurs de x satis^ faisant au système proposé.
En combinant les équations de ce système par voie d'addition, on pour^ rait les remplacer, en tout ou en partie, par d'autres équations équivalente dans chacune desquelles figurerait un nombre quelconque des n variabl La méthode s'appliquerait encore à ces nouvelles équations et, en généraF à tout système susceptible d'être ramené à la forme proposée, par vor" ^^^ d'addition et de multiplication par des coefficients numériques.
X. — Résolution des équations du second degré. Solutions géométriqn es
diverses.
164.. L'équation ( 2 ) du n** 161 est ramenée à la forme x*-^- px-^q =: quand on divise tous ses termes par a. On peut construire un segment de
RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU SECOND OEC.RK. SOLUTIONS, KTC» »»»
droite a^ équivalent à />, et un carré U^^ équivalent à 7. LVquatinn pivml alors l'une des quatre formes suivantes, qui ne difTèn^nt que» par 1rs
signes (') :
x'-h ax 4- ^*= o, X* — fljr-4-/>'=o.
Les deux équations de gauche ayant, au signe près, mémos rarinrn (pio celles de droite, il suffit de considérer celles-ci, qu'on peut (railleurs
écrire
Le problème revient donc \\ construire un rectangle qui soit éfpiivnlont 11 Un carré 6* et dont la somme ou la différence des c6tés soit égale \\ uti segment donné a.
Le même procédé peut être appliqué à Téquation bicarrée, dont il n*j
(*) MoHAHBKD %TS MosA donne daot ton Alf^bre de* ex^mplM namériqn^n t\^% troin
derniers cas. mais il ne considère que les racines potitifcs : il ne parle pas du pre-
xnier cas, qui ne donne que des racines négatives. Dann le iroitième ca», p/>rir lequel
I«s racines sont positives, étant donné qn'elles soient réelles, MoiiAMMRf» dit qiir,
^préa SToir calculé ces deoz racines, on essaye d'abord celle qui est frifirnie \mf
l*addition de deu termes positifs. Si elle ne convient pas, la seconde, dont le np^ontt
^«rme est précédé do signe — , conviendra certainement. I^es lndien«, dont le<i
«nétbodes ont été adoptées par les Arabes (Casibi, Bibliothera arahirt>'hi*pnnn, f . f,
S^. ^36-438, et t. Il, p. 333;, admettaient aossi les déni racines qnand elf^ c//nv^n;»i^nt
^^ates deux, et en rejetaient nne comme absorde dans d'antr«^ cas; s/Mivent tni-mf
mis omettaient les racines négatives sans j faire la moindre aflnsion ' Àl^^hra i^^Hh
^rithimetie mmd wêemsmratiom from lAé^ tanscrit of Brahmeffupta anf{ Bha9rara,\r.*r\%\»\^t\
\ij H. T. Coixanooss. London, i%i7. p. >, fr, >>, 6.^. fff^). I^cà »f fk»»^^» for**ifl*-r^
%rois cas, c o mme Moajimn». Il donne la soiotion de cbacnn et la jnstifi^ pstr d^«t ^ott-
midératkwm géométrignes. Quand les étnii racines sont positive, il r^ffritMin qiiVll^s
y i en t conscaîr Tnne et l'antre dans certains ca^, maïs qœ d'aotf^s ^«4 nVn *d
^Mtteat qa'aae scnle. Ces rapports mani lestes entre les travani de M^yfr «««»<>, d'*4
Indican et de lacs as Boko montrent bi^n Votifpn^ d«> nMff. Algèbre ^t VtniS***'^^^
«lirccte des Onvrafes arabes snr le eatr^e^^xpi fit l^s progrès de^ Sfiith^ mat iqn^^ a Sn
■ne lettre à Fta^onso 1mv9Zurv% ' Ù^v^rtamm t^ttiJati^^nm mét/hé^m^/f^ftfnm *tpkysiemrmm lAer.la&rimi, MDLXW^. p. .>V^., I.-R. ItftriMrrri donn^ h /'/^nstni*'tien de In racine positive de re«{natîon x^-*-ar ~ b-. f^U ^qr«sti<>n ^tprim^, *n Hfet, imaaediatmMSt la qnesti on qn'il ppsont, «ar^îr : ff/»ft' tion^*^* /lé»Mf Hroff^-. o h
Armie FsVinn, X^tiisûf tt^vrito-^riti^h^ inU/t er,^'.rmi^tt^ /l^*l^ ^^j'iAzt^tf*» ^fA*':^'%, 187*; CMaaus, Âftrrrm kittnruimi»^ *U., Y #dit., P*rH, i ■'';;, p. iff. V,a V^», . f* Dovroa. Digreuiut hûe^ri^me atr kr; ^m/n9fif^i ***if«/'Wr, -»!#• , dsn* I*»* V/vwv /#*»/)- //^ Jfarirm^ !• «eriii. t im. Paris, i-^n. p. VW.,
'>3{\ CALCVL GRVPHIQUK. — AI'PKNDICK Dl TRADrcrTElR AU CflAPITRU VI.
a Jieu de considérer que les trois types transformés
jr^ -h r/^.r* — c^d^=z o,
x^ — aù.tr — r*r/* == o, car la quatrième forme
jt'^ -f- ab .r* -h r'^' 1= o
ne donne que des racines imaginaires.
Si Ton pose x^ = cz^ ces trois équations deviennent
ab
On détermine les racines z de ces équations par la construction précéda •^^" ment indiquée^ puis on trouve x par une moyenne proportionelle entre ^
et z.
