Considérons encore l'équation
qu'on peut écrire, en posant
sin>- .r =: ta ne r = — ^ »
cos/
a lixn^j 4- --^ P = o,
Ung/
ou
asin*7 ■+■ ycos^y -+- f si 117 cos^ = o.
Multipliant tous les termes par 1 et remarquant que
2 sin' / = I — ces 2 j^, 2 cos' j = i -f cos 2 j, 2 sin/ cos j^ = sin 2/ ♦
on a
( 2) p sin 2 j -f- (a — 7 ) cos 2j = a H- 7.
Prenons deux inconnues auxiliaires, m et /i, telles que
sin 2 j =: — 9 cos 2 J*
RÉSOLUTION DES KQUATIO.NS Dt SECOND DKGKK. SOLUTIONS, KTC.
Ces valeurs, substituées dans l'équation (2), donnent
(3) pm-h(a-7)/i=r(aH-7)v^p*-f-(a-7)«î
d oii l'on déduit la construction suivante :
ABC {/Ig. m) étant un triangle rectangle dont les côtés CB, CÂ sont respectivement égaux à p et à (a — 7), et dont l'hypoténuse est par suite égale
à y^p*-+- (a — 7)*, on trace, du sommet C comme centre, avec (a 4- 7) pour rayon, un arc de cercle qui coupe en deux points, D, E, la circonérence circonscrite au triangle ABC. Le quadrilatère inscrit, déterminé par Tun quelconque D de ces deux points et par les sommets de ABC, donne, en vertu d'une propriété bien connue,
p.ADH-(a-.7).BD= (a4-7)v^p-4- (a— 7)».
Par suite, AD et BD, AE et BR, sont deux systèmes de valeurs de m et de n qui satisfont à l'équation (3) et qui déterminent les valeurs de l'angle 2/ satisfaisant à l'équation (2). Ces dernières sont d'ailleurs fournies directement par la ligure, car on a, par exemple, dans le triangle rectangle ABD,
ou sin2/v p"-^{a — 7J*= sinABDv/|i*4- (a -7)^
d*oii
ou
2j = ABD.
Quant à la valeur de j:, correspondant a cette valeur dej^,on l'obtiendra en élevant sur BD, à l'unité de distance du point B, la perpendiculaire FG cjui rencontre en G la bissectrice de l'angle ABD. On voit immédiatem ent cfue FG = tangj = jc.
•Jl38 CALCUL GRAPHIQUE. — APPENDICE DU TRADUCTEUR AU CHAPITRE VI.
166. On aurait pu varier la construction en prenant le sommet A comme centre d'une circonférence de rayon a + y, qui aurait coupé aux points II et K la circonférence circonscrite à ABC. Menons, en effets BH qui est la tangente à l'extrémité du raycm Ail, et abaissons CL perpendiculaire sur ce rayon; on a immédiatement
donc
LU -f AL = a-+-7=:psinCAHH-(a — vjcosCAU.-
CAH = iy.
