On peut enfin poser, dans
P cosy
a — 7 sin ^
L'équation devient alors
sin iy cosç -f- cos2^ sin^ = sin ( 2j H- 9») = -^ -^ sin^,
d'où
sin(2 7" -f- ç) — sin y cos(j -f- ç>) sinj tangj 7
— i ■ - ■ ■ I ■ I- y m II »■ II» m ■!■■ ». ■» ' "1 • ' ■ ■ ^^^Z ^ •
sin(27-f- <p) -f- sinç» sin ( j 4- y ) cosj^ lang(j -f- 7) a Conséquemraent, on porte sur une droite MQ Ifig. 112) MN^y,
V'iQ. 113.
MP =1: a, KQ = p, et sur la perpendiculaire à MQ, au point Q, QR = a — y.
RÉSOLUTION DES ÉQi: AXIONS DU SK<:oND DKtiUl':. SOLUTIONS, KTi:. 'l'U)
On a
QNR — f.
IjC segment capable de cet angle, décrit sur NP, coupe généralement la peri>endiculaire élevée au point M sur MQ, en deux points, S, T, sominels des angles NSM, NTM, qui sont les deux valeurs de j.
168. Construisons [fig, 1 13), sur les côtés a, b^ c d'un triangle ABC,
Fig. II 3.
'ir
et à l'extérieur, trois triangles équilatéraux dont A,, B,, Cj sont les troisièmes sommets. Il est aisé de vérifier que les droites égales AA,, BB|, CC, concourent en un point 0, d'où les trois côtés du triangle donné sont vus sous des angles de l'io*^.
Désignons respectivement par x^ y^ z les distances du point O aux sommets A, B, C. On a, d'après une propriété connue, et en remarquant que 1 cos 1 20° =1- — i ,
3* + .r* -t- ex = 6'.
les segments OA, OB, OC donnent donc les valeurs de x, j, z qui satisfont au système des trois équations (1). Ces valeurs, changées de signes, satisfont au même système.
Les triangles équilatéraux tels que AjBC, construits sur les côtés de ABC dans des positions symétriques de celles que nous venons de considérer, donneraient, en vertu des mêmes pro]>riélés, deux autres solutions du système ( i ) .
•2i<) CALCUL GRAPHIQUE. -- AIM'KNDICK DU TIUDUCTEUH AU CHAPITRE VL
169. L'('Iiminalion de j entre deux étiiialions du second degré en xel/ conduit à une équation finale du quatrième degré en jt, dont les racines ne peuvent pas, en général, être obtenues |)ar la règle et le corapas. Certiiins cas particuliers font cependant exception.
Soit proposé, par exemple Ifig, i i4)i àt mener par un pointP une normaleàla parabole
Les coordonnées du point Q, commun à la normale et à la courbe, étant j: et /, celles q/ du point P étant Xj et /,, on a
Fig. 114.
ri — r =
où
xjrz=[x^'-p)y — pjr^.
Multipliant par / et remplaçant j' par ipx^ on a
ri
relation qui, additionnée avec (i), donne le cercle
.r*H-j« = (x,4-/?)xH- -^ j, dont l'intersection avec la parabole détermine le point Q.
XI. — Résolution de Téquation du troisième et du quatrième deg"^^
à une inconnue.
170. L'élimination de^ entre l'équation de la parabole y z=z x' et du cercle
conduit, en posant
à l'équation biquadratique
lie
j* -|-/;x' H- ryx -h r =: o,
donl les racines réelles sont données par les abscisses des points d'interscr^^ lion (le la parabole et du cercle.
CONSTRUCTION DES ÉQUATIONS DV TROISIÈME ET DU QUATRIÈME DRGRÈ. 'Jt||
Pour avoir les racines de l*ëqiiation cubique
il sufBt d'annuler r dans (i), ce qui revient à introduire dans (2) une racine ëgale à zéro, et de faire passer le cercle par le sommet de la parabole.
La même parabole peut servir à résoudre toutes les équations du troisième et du quatrième degré; il sufHt donc de décrire, dans chaque cas particulier, le cercle qui correspond à ce c<'is.
Par exemple, pour/? =: — 2, 7 = — 5, on dwrit le cercle passant par l'origine dont le centre a pour coordonnées a=:-J, P = f <^t, la racine étrangère x=i o étant écartée, on obtient la seule racine réelle^de l'équation, X -=. 2,09, en mesurant à l'échelle de la figure l'abscisse du sectmd point d*intersection de la parabole et du cercle.
Pour [1-= — .'), // z= I et, par suite, a = — J, ^ =: 3, on a trois intersections utiles, correspond«int à trois racines réelles de Téquation (*).
XII. — Constmction des équations du troisième et du quatrième degré.
Méthode de Chasles (>).
171. La construction de l'équation du troisième dogré, proposée par Chasles, repose sur quelques propriétés dont nous allons d'abord rappeler les énoncés :
[a] Lorsque quatre couples de points en ligne droite^ M et N, W et N', . . ., sont en inpolution^ les conjugués harmoniques il* un point A de la
( * j Quand on fait /; = — ^, ^ = — * cos3p, les racines do 1 équation cubique sonl co«p, cos ( 5? -h I ît ), cos(p — J-îr). On peut ninsi opérer latrise<'tion do rnn{;leau moyen d'une parabole fixe. (Voir à ce sujet R. Hoppr, Construction der reellen Wurzeln einer Glcichung ifierten oder dritten Grades mittetst einer festen ParabeU dans les Archiv fier Mathematik und Phjrsik, Leipzif;, 187^, p. 110-113. Pour la résolution des équations numériques du troisième degré par la construction des normales à la parabole, Yoir Gkbgo?iiie, yÉnnales de Mathématiques pures et appliquées, I. IX., Nimos, 181 S
^*) Voir Comptes rendtis îles séances de l'Académie des Srie/wrs, t. XLI, iSjj, p. 677^5.
t>itCABTES, Slczb, Newto!*, Hallet, Lbopital, ctc, ODt appliqué les constructions géométriques à la résolution des équations du troisième et du quatrième degré; mais ^^urs méthodes reposent sur des combinaisons algébriques d'équations et tiennent plus encore de l'Analyse que de la pure Géométrie. La solution de Ciiaslks, affranchie ^^s procédés de calcul, est, au contraire, du domaine exclusif do la (Géométrie ra- *"o»inellc.
On a vu que les Arabes savaient construire les racines de IVquaiion du troisième ^^Qré; leur méthode, toutefois, ne difTèrc pas au fond de celle de Descartbs. Les pro-
%i'Ji CALCUL GRAPHIQUE. — APPENDICE DU TRADUCTEUR AU CHAPITRE VI.
(IroitCj relatifs a ces quatre couples de points, ont leur rapport rrrr^fi- m ar^ moni que constant y quel que soit le point A [Traité des sections coniqu^^^s^ttes nM36).
(b) Les quatre couples de droites qui joignent un point fixe d'une » nii§ue atLc ertrémités des quatre segments MN, M' N', . . . , intercepi iùins la courbe quatre cordes concourantes, dont le rapport an/iai nique est égal a celui des quatre segments ( Traité des sections coniqi nM38).
[c] Si, dans l'équation du troisième degré
,r^az-i- b]-\' .r'^a'z-h b') -h [n^z-h b") = o,
les varia b las représentent des segments mesurés sur une droite^ à parti d'un point fixe pris pour origine, de maniêfe que chaque r^alcur de z drtermine un point P et les deux rmleurs correspondantes de x deux poinf M, N, les segments MN sont vn involution et quatre quelconques d'enl eux ont même rapport anharmonique que les quatre points qui leur carres pomleat».
Proposons nous maintenant de construii-e les racines de l'ëquation di^^ ^ trtiifiièuie degré
et considérons d*abord l'équation à deux variables
(») (A3 -f- B)x«4- Cz -*- D=r o,
qui devient la proposée quand on fait z=ix. Une infinité de système -^Enes de valeurs conjuguées de x et de z satisfcmt à Téquation (si] et trtja^^^'OW
prfétés' des coniques, dont ils faUaient usage, n'étaient, en eflct, que des cas par-^^ ^rti* ciiliers de la proposition relatÎTe au rapport constant du rectangle des ordonnëee^^B^s • c«*Tu{ àf^ abscisses, proposition qui conduit à l'équation des courbes en Géomél^^ ^Irlt analytique. Les reclierclies des Arabes marquent un progrès important en Géométri .^^ieet en Algèbre, et constituent un acheminement rers Talliance plus intime de ces d^.^Heoz sciences. Ce point de l'histoire mathématique des Arabes, déjà mis en lumière pv
VMgèbre de Mohammed bb:« Musa, a été définitirement établi par L.-Am. Sédu.c:i — Jjot, dans l'anaTyse d'un fragment d'Algèbre (manuscrit arabe, n* 1104, de la Bibli- -^th, nat.), qui contient la résolution géométrique de Téquation du troisième degré. ( ^olf Notices et Extraits des Manuscrits, etc., t. XUI). Woepcre a trouTé depuis, dao^^* oa iminnscrit de la bibliothèque de Leydc, un exemplaire plus complet du même Tr^^té. n en a publié le texte et la tiaduction avec d'autres extraits de manuscrits in^^diti sous ce titre : Vy4lgrbre d'Omar Âlkhayyami, etc., Paris, i85i. Voir Cbaslbs, A^^rcn historique, etc., a" édil., Paris, ïS^.j, p. /igS, et Rapport sur les progrès de la Géofnétrie, Paris, 1870, p. 226.
