CONSTRUCTION DES ÉQUATIONS DU TROISIÈME ET DU QUATRIEME DEGRÉ
d'entre ces systèmes donnent les racines de l'équation (i) : ce sont ceux dans chacun desquels les deux variables sont égales. Pour déterminer oes trois systèmes particuliers, il sufiBt d'en connaître trois autres queloonques.
Soient, en effet, P,, Pj, Pj trois points situés sur une droite OX, aux distances 0Pi = 3i', OPj^wj, OV^^z z^ d'une origine fixe O, et soient MiNif MsNs, MjNj trois segments correspondants tels que, par exemple, les distances 0M| et 0N| sont les deux valeurs x, dex, égales et de signes contraires, conjuguées à la valeur Zi de z. Les rayons AMi, ANj, qui joignent un point A d'une conique quelconque C aux extrémités du segment M, Ni, interceptent sur la conique une corde EiF, qui est coupée au point Ci par le rayon APi. Les systèmes de points P,, M,, N, elPj, M3,N3 déterminent pareillement deux autres cordes EjF,, EjFj, et, sur ces cordes, deux autres points, G^, G3. Les trois segments MN étant en involution (c), les trois cordes EF concourent en un même point H (^) et les cinq points A, II, Gi, Gj» G3 déterminent une conique K. Tout autre ]K>int G4, construit, comme les précédents, au moyen d'un quatrième système de valeurs de x et de z, appartient à cette conique, car les points P correspondent anharmoniquement aux segments MN (c] et, par suite, aux cordes £F [b). Les coniques C et K ont trois points communs, autres que A, et chacun de ces trois points est un point G qui coïncide avec l'une des extrémités de la corde EF correspondante. Conséquemment, le rayon AG détermine sur OX un point P qui coïncide avec l'une des extrémités du segment correspondant MN; en sorte que, pour le |>oint considéré, commun aux deux coniques, les variables jc et z sont ^ales entre elles et égales au segment OP, qui est une racine de l'équation. Ainsi, les rayons du faisceau A qui passent ])ar les trois autres points des deux coniques déterminent les trois racines de l'équation proposée (*).
172. La construction des racines de l'équation du quatrième degré repose sur une autre propriété dont voici l'énoncé :
Id) Si, dans l'équation du quatrième degré à deux variables
x*(a»*-4-^s-f-c)-+-x(éi'«»-f- b'z-hc') -4- {a"z^-h b^z-h c'') =z o,
(*) Cakdah {jirs magna) donne de nombreux exemples d'application des règles de la Géométrie à la tliéorie des équations, et notamment à la construction de l'équation do troisième degré. Son Traité De Aliza régula, Chap. Xll {De modo demonttrandi geometriee œstimationem cubi\ contient une construction de l'équation x^-H^sivx'au moyen de la parabole et de l'hyperbole. (Fataro, Noiizie sioricocriiiche, etc., p. 1.^7 et suif.). Voir aussi, pour les recherches des Arabes sur la eoostmction des équations du troisième degré, Favaro, loc, cii,, p. 70 et sulv.
!l44 CALCUL GRAPHIQUE. — APPENDICE DU TRADUCTEUR AU CHAPITRE %b.
le déterminant des neuf coefficients est mil, ce qu 'on exprime par la relation
a[b' c' ^ b" c') -\- a' [b" c -h U'"] -^ a'' (bc' ^ b'c) = o,
les racines conjuguées île l'équation sont doubles, c'est-à-dire que les deux valeurs de x qui correspondent à une valeur donnée de z correspondent aussi simultanément h une autre valeur de z. Et, si ces couples de racines conjuguées représentent respectivement des segments MN et PQ sur une même droite : i" les segments MN sont en involution; i'^ les segments PQ sont en inpolution; 3" les •segments MN correspondent anharmoniqHemeni aux segments PQ.
Soit à construire les racines de Téquation
X* -h Ax' -4- Bx* -4- Cx H- D = o,
et considérons l'équation u deux variables
(x'-4- A.r)c*-i- Bj:'-4- Cx -4- D = o,
qui devient la proposée quand on fait z=z x.
Si Ton attribue à .r une valeur .r', on aura pour z deux valeurs, z!^ z^, égales et de signes contraires, et a ces deux valeurs correspondra une même seconde valeur w" de x. On a ainsi un système de deux couples de racines conjuguées. On peut former une infinité de tels systèmes et trois suffisent pour déterminer tous les autres.
On porte sur une droite OX, à partir d'un point fixe 0, les diverses valeurs des variables x et z. Les valeurs x'^ .r" déterminent deux points M|, Ni, extrémités d*un segment M^Ni, et les valeurs correspondantes z , 3", deux points Pt, Qi, extrémités d'un segment PiQi. Pour un autre système de deux couples de racines conjuguées de l'équation, on a deux autres segments correspondants M^N,, PtQi- Trois couples de segments suffisent pour déterminer tous les autres [d] et par conséquent tous les couples de racines conjuguées x', x" et z\ z''. Ils suffisent, notamment, pour déterminer, au mr)yen d'une construction géométrique, les quatre couples dans chacun desquels les deux segments ont une extrémité commune, auquel cas les deux variables x et z sont égales et constituent les racines de l'équation proposée.
Par un point fixe A, pris sur une conique quelconque C, on mène des droites aux quatre points M|, N|, Pj, Q^. Les deux premières interceptent sur la conique une corde BiDi et les deux autres une corde E| Ff. Un second couple de segments, M^Nj, PiQs, donnera pareillement deux cordes BjD,, EsFs, et un troisième couple, M3N3, PsQj, deux nouvelles cordes B3D3, E, F,. Les trois segments MN étant en involution [d)^ les trois cordes
COKSTBUCTION DES ÉQUATIONS DU TROISIÈME ET DU QUATRlàllE DEGRÉ. 24^
BD passent par un ménie point H (b) et, pour la même raison, les trois cordes EF passent par un même point L. D'autre part, les trois premières rencontrent respectivement les trois autres en trois points Gi, G,, G3, qui, avec les points H et L, déterminent une deuxième conique R. Les coniques C et K ont quatre points communs et les droites menées du point A à ces lK)ints déterminent sur la droite OX quatre segments qui sont les racines de réquation proposée.
173. Supposons que, dans Téquation du quatrième degré, le terme D soit nul, et appliquons la construction qui précède à l'équation
x* H- Xx^ -f- D.r* -+- C^ = G,
en ayant recours à IVquation a deux variables
Les trois segments MN ont alors leur commune origine au point et les trois cordes BD se coupent en un point de la conique C. La conique K passe par ce point, auquel correspond, sur Taxe OX, une racine nulle. Les trois autres points d'intersection des deux coniques donnent les trois racines de l'équation du troisième degré. On a ainsi, pour cette dernière équation, une construction qui diffère de la méthode directe précédemment ex|30sée.
On peut d'ailleurs, dans les divers cas considérés, se servir, pour déterminer les racines, non plus des points d*intersection des deux coniques, mais des tangentes communes à ces deux courbes, ce qui donne une seconde solution géométrique de chaque question ( * ).
C) Pour les iraTaux des Arabes sur la construction des équations du quatrième degré, Toir F. Woepgk.e, VAlffAre d*Omar Alkhajyâmi, publiée, traduite et accom,' pagnée d'extraits de manuscrits inédits, Paris, MDCCCLI, p. ii4'ii6; — Woepcke, Sur la construction de inéquation du quatrième degré par les géomètres arabes, dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées, 2* série, t. "VllI, i863, p. 57-70; — Fataro, loc. cit,, p. 86.
Alehatyahi rapporte, dans son Algèbre, qu'ALHAZEJi aurait construit l'équation binôme du cinquième degré. Il est à présumer qu'ALBAZEM est arrivé à ce résultat, soit au moyen des courbes supérieures que les Arabes connaissaient par les travaux des Grecs, soit par un procédé mécanique. La construction d'ALBAZEN devait probablement se trouver dans son Mémoire sur la détermination de quatre lignes {moyenneB proportionnelles) entre deux lignes données. On a, en effet, x, y, z, t étant les moyennes proportionnelles cherchées, i et a les lignes données
X Y z t a d'où
Voir Favaro, loc, cit., p. ii3.
2|6 CALCL'L GRAPHIQUE. — APPENDICE lit TRADUCTEUR AU CHAPITRE VI.
XIII. — Résolution des équations numériques de tous les degrés.
Méthode de M. Lalanne.
ilk. L'équation du troisième degré ramenée, par révanouissement du second terme, à la forme
qui ne renferme que deux coefficients, représente une surface, quand on considère l'inconnue .r et les coefficients p^ q comme des coordonnées variables. Cette surface est un conoîdc dont toutes les génératrices rectilignes sont parallèles au plan des pq\ car, pour chacune des valeurs successivement attribuées à x, on a une équation linéaire en /? et en q, I^a construction du conolde permettrait de trouver immédiatement les valeurs de toutes les racines réelles de l'équation. II suffirait, en effet, d'élever une perpendiculaire au plan des pq par le point dont les coordonnées sont les valeurs numéri(jues de /? et de 7 relatives au cas particulier que l'on considère. Les segments de cette perpendiculaire, compris entre le plan des pq et les différents points de rencontre avec le conolde, représenteraient les valeurs des racines cherchées.
Mais la nature même du conolde permet de substituer à ce procédé peu pratique de simples constructions planes linéaires. Il suffit pour cela de tracer sur le plan des pq les projections des lignes de niveau que Ton obtiendrait en coupant le conolde par une suite de plans parallèles à ce même plan; ces lignes de niveau sont évidemment les droites représentées par rct(uation proposée, quand on attribue successivement à x les valeurs représentées par les ordonnées des sections planes. Si Ton construit celles de ces droites qui ont respectivement pour équations
q ^^ — 0,1/? — 0,001, </ = o,i/>-Ho,ooi,
q -^ — O^ip — 0,008, 7 =1 0,2/? -4- 0,008, </ = — 0>3/> — 0,027, </ := 0,3/> -4- 0,02";,
jusqu'à x = lii I ,3, on obtient l'abaque de V^fig, 1 15. Cet abaque permet de résoudre, avec une approximation suffisante, une équation quelconque du troisième degré, car on peut toujours faire disparaître le second terme d'une équation ordonnée suivant les puissances décroissantes de l'inconnue.
Les valeurs variables p et q sont rapportées, dans la figure, à deux axes rectangulaires, qui divisent le carré total eu quatre carrés égaux. Si Ton
UaOLUTlON DBS ÉQUATIONS NDMBRIOVRS DB TOCS LES DEGRKg. 34?
prend pour abscisse /t = 0,8 et poiiror<loiiné<f 7 =. — o,g, on dcterutine, dans le carré partiel des p positifs et des q négatifs, un point très voisin de la ligne de niveau qui correspond a x ^n,-j. Aucune autre obU(|ue de
Fie. "■>■
'if
la figure ne passant par ce potnl, on en conclut (|iie l'oijualion
n'admet qu'une seule racine réelle qui est appnitiinaliveraent 0,7. Si r^quation proposée est
les valeurs numériques — o,8}5 et + u,i65 des coefficients ilétenniDent. (Ud3 le carré partiel des p négatifs et des r/ positifs, un point par lequel pisseattroîs lignes de niveau rcspeciivemeiil cotées -ho,8, — 1 ,0, +0,2; et il est aisé de vérifier que ces trois valeurs de x satisfoDt à l'équation proposée avec des approximations qui sont genéralemcn t sufQsantcs. Lorsque 1( point pq ne tombe i>a3 siir l'une des droites cotées de la Gguie, on es-
248 (:\L<:iL URAPUlOtE. — APPENDICE DU TRIDUGTEVR AU CHAPITRE VI.
tiiui'y par une interpolation à vue, la cote de la droite non tracée qui passerait par ce point.
Les droites déterminées par les divei*ses valeurs attribuées au paramètre .r dans ré(|uation (i) forment par leurs intersections successives un polygone dont les côiés sont d'autant plus petits que les valeurs de x scmt plus rapprochi-es. Ce polygone devient une courbe lorsque, le paramètre variant d'une manière continue, la droite qui en est fonction ne meut elle-même d*un mouvement continu sur le plan de la figure. Cette courbe est l'enveloppe de la droite mobile. On obtient son équation en éliminant x entre l'équation proposée et sii dérivée
par rapport à x. On trouve ainsi la relation
qui est indépendante de x et qui convient par conséquent à toutes les intersections déterminées par ce paramètre. La courbe enveloppe représente par cette relation est une parabole cubique, développée de la |>araboie
Suivant que le ))oint de la figure, déterminé par un système de valeu particulières de p et de 7, est situé à l'intérieur de Tentonnoir formé p les branches symétriques de Tenveloppe, ou sur cette courbe, ou dans région externe du plan, ce point est la projection de trois points distin. du conolde, ou de trois points, dont deux réunis en un seul, ou d*un s point. L'équation |K)ssède trois racines réelles inégales dans le premier trois racines réelles, dont deux égales dans le second cas, et une seule se — -^ cine réelle dans le troisième cas.
Ces trois cas correspondent d'ailleurs respectivement aux valeurs ng|f^*tives, nulles et positives du binôme 4^^*^" 277*« ^^ ^^it ainsi que la c^ci^osidération du tableau graphique conduit aux résultats qui se dédiiLs^:^''^ ordinairement de la disc<ission de Téquation du troisième degré.
On remarque, par exemple, que le cas J^p^-h 2']q'=o compreoW le cas plus particulier des trois racines égales. Ces trois racines sont nu/i puisque leur triple produit est nul, Téquation n'ayant pas de second Le point // 7 est alors le point de rebroussement de l'enveloppe, plac^S^ l'origine des coordonnées.
175. ('onsidérons maintenant une équation algébrique du /!*•»• une seule inconnue
BÉSOLtTION DES ÉQUATIONS M'MERIQUES DE T0L8 LES DEGRÉS. 249
et 2iup|>osoDS que deux quelconques des coefficients numériques^ les deux ciei*iiiers par exemple, soient variables; nous pouvons ëcrire l'équation sous Li furme
7 = — j:/>— (/-x'-h ...-+- ^».i;"-*-h tta:"-^'hx"].
dette équation, du premier degré en p et q, représente, pour chaque v«âleur déterminée du paramètre x, une droite qui est une ligne de nive«'iu <lu conoide représenté par l'équation à trois variables en x^p et g.
On pourra donc, comme dans le cas précédemment exposé, construire un «ibaque de droites cotées, qui fera connaître approximativement les valeurs de X correspondant à chaque point pq du plan, et par conséquent les ^valeurs des racines de l'équation |)roposée. Ici encore les droites cotées ^'^V'c-loppent une courbe dont on obtiendra l'équation et que l'on pourra coriscquemment construire par points en éliminant le |>aramétre variable x ^nti*« l'équation proposée y (^, 7, x] et la dérivée de cette équation par "^J^l^ort à X. L'équation de la courbe enveloppe résultant de cette élimina-
Fig. 116.
^n est du même degré que la proposée. Cette a)urbe sépare toujVmrs les ^^^onsde la figure qui correspimdent aux divers nombres de racine» réelles. ^àr exemple, les droites que représente IVquation
q =. p r -r- o, l5^* — O^ij^fJ^ -h •/-*,
^^land on y fait varier x de dixième en dixièmrr d'nnit^f, d'fpiiis -i 1 jus*
qu'à — i, enveloppent une courbe dont les caractères principaux sont accusés par \sLjig. i r6. Dans la rrgion centrale DiRsDjDsy les cours de droites qui s'entrecroisent sont toujours au nombre de cinq. Ils sont au nombre de trois dans Tintérieur du triangle curviligne RjO^Dj et dans la région à gauche du contour ARiD, A'; enfin il n*y a qu'un cours de droites dans la région de la figure située h droite du même contour.
Siy dans l'équation considérée, on fait ^ = 0,234 ^' ^ = ^9^1* ^^ point pq est situé dans la région centrale à cinq cours de droites, et l'équation
a cinq racines réelles. On vérifie, en effet, sur l'abaque dressé à une échelle suffisante, que par le point considéré passent cinq droites dont les cotes respectives 0,4, o,5, 0,6, — 0,7 et — 0,8 sont les racines de l'équation (*).
(') Pour la résolution mécanique des équations d'un degré quelconque au moyen des losanges articulés du général Pealcellier, voir le Mémoire dt^à cité de Roos^ dans la Revue universelle do Cu\per, 1877, 2* seni , p. 11-17. BoRCîtis ( Traité complet de Mécanique appliquée aux arts, etc. Des machines imitatives et des machines théâtrales, Paris, i8ao, p. 326-229) décrit un appareil imaginé par Clairaut pour tracer sur un carton une courbe au moyen do laquelle on détermine graphiquement la valeur des racines d'une équation quelconque.
LAi.RA!<GE {Leçons élémentaires sur les Mathématiques données à r Ecole Normale en 1795, dans le t. VU des OEuvres de La^range, publiées par M. J.-A. Serret, Paris^ MDCCCLXXVII, p. 269-287) montre comment une équation à une inconnue, de degré quelconque, peut être résolue au moyen d'une courbe dont les abscisses repré^ sentent l'inconnue et les ordonnées la valeur du premier membre de l'équation pour toute valeur donnée à l'inconnue. II indique ensuite les dispositions d'un instrument qui, au moyen de règles mobiles et de charnières, permettrait de décrire la courte d'un mouvement continu. Cet instrument, dit-il, pourrait ainsi servir à résoudre toutes les équations, ou tout au moins à trouver les premières valeurs approchées des racines, par lesquelles on en trouverait ensuite de plus exactes. Pour le principe de cet appareil, voir Favaro, Appendice aile Notizie storico-critiche sulla costruziohe délie equazioni, Modcna, 1880, p. 11.
Sur l'application de la théorie de la pesanteur à la résolution des équations et sur la Balance à résoudre les équations numériques^ imaginée par Béaard et réalisée par M. Lalanne , voir Ed. Colligmon, Traité de Mécanique^ 'i* Partie, Statique, à* édil., Paris, 1881, p. 3Î7-352 et /|0i-'|0'^.
