ET DE REMBLAI

Lauîiîie. Appendice /<• 4 au tome I dit Cours de construction île SganztNf Paris, 18} 2. — Lalakïce, Mémoire sur les Tables graphiques, etc. ( Annales des Ponts et Chaussées, 2* série, 1846, a* sem.) — Cilmann, Die graphische Statik, Zurich, 1866, n'» S-U, cl 1875, n** 18-20. — ScHLESiXGER, Vortràge aber graphisches Rechnen und Grafostatih, Wien, 1868-69, 11**» 84-93. — Wixkler, Vortràge ùber Eisenbahnbau, V Hefl, Prag, 1870, p. 17.

176. Les demi-profils en travers des roules et des chemins de fer sont en général des quadrangles dont trois côtés (l'axe vertical, la demi plate-forme et le talus) déterminent par eux-mêmes, ou par leurs prolongements, un triangle rectangle invariable. Le quatrième côté varie en position et en direction selon les accidents du terrain. Il est réduit à un segment rectiligne lorsque le sol présente une déclivité sensiblement uniforme entre Taxe et le lalus (*).

Les demi-profils quadrangulaircs peuvent être croisés dans les sections situées partie en déblai et partie en remblai.

La rédaction des projets reposant sur la détermination des aires

d'un grand nombre de profils transversaux, on a eu d'abord la

pen.sée de coordonner, dans des Tables numériques à double entrée,

les valeurs des aires qui, pour des largeurs de plate-forme et des

inclinaisons de talus une fois données, correspondent à diverses

positions et directions de la ligne du terrain. Mais on a bientôt

(') Lorsque cette hypothèse s'éloigne trop de la vérité, le demi-profil quadrangulaire ne peut résulter que de la transformation d'un contour polygonal plus accidenté en un quadrangle équivalent.

trouvé plus avantageux, de recourir à des Tables graphiques, dans lesquelles l'aire de chaque demi-profil est immédiatement relevée (*).

Nous allons indiquer le principe, la construction et l'usage de ces Tables.

Soit ABCD {Jig' 117) un demi-profil en déblai ou en remblai, limité par la plate-forme AB, par la verticale AD sur Taxe, par le talus BC et par la section CD du terrain naturel. Cette dernière ligne varie seule, d'un profil à l'autre, en fonction de deux élé-

Fi(j. 117.

ments, savoir : la cote sur l'axe et l'inclinaison du terrain. Si l'on admet tout d'abord que ce dernier élément reste constant^ les diverses positions CD, C|D|, CaD2, ... de la ligne de terrain seront parallèles entre elles.

On considère l'aire du demi-profil ABCD comme différence des aires des triangles OCD, OBA, el l'on réduit les triangles OCD, OC|D|, OC2D2..., à une base commune OD, de telle sorte que les sommets des triangles réduits soient situés sur les horizontales des points D, D|, Dj, ....

(*) Tenner a proposé, en i8a8, une Table satisfaisant à ces conditions {Kurte Beschreibung eines Planimeters. Darmstadt, 1828). Cette Table a été récemment reproduite par KocH ( Beschreibung einiger Uulfsmiltel fur geometrische Arheiten, vornâmlich zur erleichterten Anwendung des Meternuuuses, dans le Culturel ngénieur, fil, Band. II Hcft. Braunschwcig, 1871, p. tJ3, i53.)

On projette, à cet effet, par des rayons verticaux, les points C, C, , C2, . . . , en E, El , Eo, . • . , sur rhorizontale du point D. On projette ensuite les points E,E|,E2, . . . , par des rayons issus du point O, sur les horizontales des points D, D|, D2, . • . , en E, S|, S2, • • •. Les triangles primitifs OCD, OC1D4, OG2D21 ••• sont respectivement équivalents aux triangles OED,OE|D|, OE2D,, . . ., lesquels sont équivalents aux triangles OED, OS|D, OS2D, . . ., qui ont pour base commune OD. On obtiendra donc la valeur des aires des triangles primitifs en multipliant par la demi-base de réduction ^OD les hauteurs DE, D^Si, D2S2, ... des derniers triangles.

Considérons maintenant les faisceaux formés :

[a] Par les rayons parallèles DE, D,Si, D,S,. . . . ,

[b] Par les rayons parallèles DC, D|C|, D,C,, . . . ,

(d) Par les rayons convergents OE, OEj, OEj, ....

Les faisceaux (a) et (ù) sont perspectifs à la ponctuelle Dr>,D2, •••» et par conséquent projectifs. Les faisceaux (&) cl (c) sont perspectifs à la ponctuelle CC|C2, ..., et par conséquent projectifs. Enfin, les faisceaux (c) et (rf), perspectifs à la ponctuelle EE1E2, ..., sont aussi projectifs. Il s^ensuit que les faisceaux(rt) et (rf) sont projectifs (G. 47) et que le lieu ES| S2, . . . des points d'intersection de leurs rayons correspondants est une courbe du second ordre passant par les centres des deux faisceaux (G. 62-64), c'est-à-dire par le poinl O et par le point à Tinfini de la direction AB.

Le rayon commun O^c , considéré comme élément du faisceau (rf), a pour correspondant le rayon à Tinfini du faisceau (a), c'està-dire la droite à l'infini du plan ; la courbe engendrée, tangente à cette droite au point oo , est donc une parabole (G. gS) dont It» rayon O^o est un diamètre (G. ia5).

D'autre part, au rayon commun O^o , considéré comme élément du faisceau (a), correspond le rayon OD du faisceau (d). Ce rayon est donc tangent à la courbe au point O. Il est d'ailleurs perpendiculaire à la direction de son conjugué, qui est le diamètre O^ . Ce diamètre est donc l'axe de la parabole (G. i34-i35).

On peut y dès lors, construire la parabole qui correspond à la série des triangles semblables dont le sommet commun est au point O et dont les côtés successifs, opposés à ce sommet, sont les parallèles DC, D| C|, D2C2, .... L'aire de l'un quelconque de ces triangles, 0D{ Ci, égale au produit de la demi-base constante

par D| S|, est déterminée par l'abscisse du point S{ de la para-

bole qui a pour ordonnée la base réelle ODi du triangle considéré. Pour avoir les mesures des quadrangles ABC|D|, ABCaD,, . . ., c'est-à-dire la suite des profils qui ont même talus et même inclinaison de terrain, il suffira de diminuer les abscisses D|S|, D2S2, ... de l'abscisse constante/, qui donne la mesure du triangle OAB, réduit à la base OD. On pourra relever directement ces différences sur l'épure en traçant la verticale située à la dislance /de OD, dans la direction AB.

177. A chaque nouvelle inclinaison, soit du talus OC, soit de la ligne du terrain CD, correspond une nouvelle parabole. Mais la

courbe reste invariable lorsque les inclinaisons de OC et de CD varient simultanément, de telle façon que, dans les triangles OCD, ()C|D|, . . ., le rapport de la base ù la hauteur reste constant. Dans c^ cas, en clfet, les ordonnées bases OD, OD| j OD2, . . . correspondent toujours respectivement aux mémesabscisses-hauteurs DE,

Ona(/-.ii8)

OD 1=1 OP — DP

. „ , . DP

et par suite, si l on représente respectivement par a= — et par

Fig. 118.

T = — les déclivités du terrain et du talus.