II. — Construction des Tables paraboliques
181. Soient 0(^^. 120) l'origine des coordonnées, OX l'axe des abscisses, qui est aussi l'axe commun des paraboles, OY l'axe des ordonnées, qui est la tangente commune au sommet O. Sur la bissectrice OG de l'angle droit XOY, on marque les points équidistants par lesquels doivent passer les paraboles successives. On peut, par exemple, donner à l'intervalle constant, compris entre deux points consécutifs quelconques, une longueur telle que les horizontales et les verticales de ces points divisent le papier en carrés d'un centimètre de côté.
a58 CALCDL GUPHIQDB. — CHAPITBE TU.
Soit OH un rayon quelconque coupant en un certain point H l'horizontale menée par l'extrémité D de la base de réduction OD. On a DC = OD et par suite (180)
DII=i.DC = /.OD,
A- étant le rapport qui existe entre la dilTérence des ordonnées de deu\ points quelconques de OH et la différence connue A des ordonnées des points de OC respectivement situés sur les mêmes
paraboles que les premiers. On construit les points des paraboles situés sur OH, soit par la méthode de projection précédemment indiquée (179), soit en déterminant (Jlg- 119) le point B par la double projection HG, GB et en divisant le segment OB en autant de parties égales que OC.
Les résultats de cette construction pourraient ne plus être sufTisamment précis quand les rayons font des angles très aigus avec les horizontales. Soient OE un de ces rayons et h le rapport qui doit exister entre la différence de ses ordonnées et la différence S des ordonnées correspondantes de OC. On prend une ordonnée OD, égale à A d ou à un multiple de h Â. Le rayon OE coupe DC en
un point L, tel que DL = A.OD, et l'on obtient les points des paraboles situés sur OE en divisant OL en — parties égaies.
182. Une parabole étant déterminée quand on connaît son axe, son sommet et un autre de ses points, il est aisé de voir que la table des paraboles ne change pas quand on substitue une nouvelle base de réduction à celle qu'on avait d'abord adoptée. En d'autres termes, une table construite sur une base de réduction déterminée peut servir pour une autre base quelconque, à la seule condition de changer en conséquence les indices des paraboles.
L'indice de l'une quelconque de ces paraboles étant égal à la différence t — a des tangentes des angles que fait l'horizontale avec le talus et avec la ligne du terrain, on affectera dans chaque cas de l'indice i la parabole passant par le point C, dont l'abscisse DC et l'ordonnée OD sont toutes deux égales à la double base adoptée 26. On a en effet pour le triangle ODG, qui ne comporte pas de réduction, t = i et a = o.
Quant aux indices des autres paraboles, ils sont déterminés, comme on l'a vu, par les numéros d'ordre des divisions proportionnelles marquées sur les rajons du faisceau O.
La relation entre la double base OD = aô et l'indice n se déduit de la considération des triangles équivalents (176) OSiD, OC<D| (Jig' iï7)« On a en effet
OD.SiPinzODi.CiPi.
Mais (177)
On a donc, en posant ODi =^ et D| Si = ^ ;
j^' = 2 bn.r ,
équation de la parabole d'indice n qui correspond à la double base 2 6.
On voit par cette équation que, pour une parabole donnée, la base de réduction et Pindice sont inversement proportionnels.
m. — Usage des Tables paraboliques.
183. Soient oi23Q... {fig' 121) Je contour poljrgonal cor mun à une suite de demi -profils en remblai, PQ la ligne variab du terrain et U le point où la droite Q3 prolongée rencont l'axe vertical Po. L'aire de chacun des demi-profils proposés e égale à la différence entre l'aire du triangle UPQ, limitée dai chaque cas par une position de PQ, et l'aire constante 01 231 Pour réduire cette aire à la base donnée hj on détermine si QU le point A, situé à la distance b de Po et l'on mène I< droites ii|, 221, 3B, respectivement parallèles aux droites 2< 3 1 4, A 2 1. Le polygone oi23U se trouve ainsi transformé en u
Fig. lai
triangle équivalent AUB, qui a pour hauteur la base d< et pour base UB le double du segment /, mesure de Ta trancher.
L'indice t — a de la parabole étant donné, pour chaque de PQ, par le triangle UPQ(177), on prend sur les
table (yî^. 120) les longueurs OR = OD = 26, et Ton porte sur la verticale du point R la longueur RS égale à 26(7 — a), c'està-dire au segment MN {^fig> 121) limité par les droites QP et QU sur la verticale située à la distance 26 du sommet Q. On mène la droite OS qui coupe l'horizontale DC en H. Le point H appartient à la parabole cherchée.
En effet, les triangles semblables ORS, HDO donnent
wn. ix3 OD=:RS.DH.
