TABLEAUX GRAPHIQUES DE M. ROUIT
186. Si, dans la relation (a] du n^ iSk, on remplace c et C par leurs valeurs respectives azei — j on a, comme expression de Taire du demiprofil,
Cette formule s'applique non seulement aux quatre types de profils non croisés Ifig, 1 18 et 12a), mais encore aux quadrilatères croises ABCD des types DR/ et RDp {Jig, i23), pourvu qu'on tienne compte des conventions relatives aux signes des grandeurs rectilignes, angulaires et superficielles (81). Le circuit ABCD, considéré, par exemple, comme parcouru en sens positif dans les types Dp et Dr en déblai, limite des aires positives, déterminées dans l'équation (4) par des valeurs positives de h et de r. Le même circuit ABCD, parcouru en sens opposé dans les types Rr et Rp en remblai, limite des aires négatives, déterminées par des valeurs négatives de /i et de t. Enfin, dans les deux types mixtes, le circuit et l'aire sont positifs en déblai, négatifs en remblai, ce qui est vérifié par r positif et /i négatif dans DRr, par r négatif et h positif dans RD/c?. Dans chacun de ces deux cas, la valeur de A est positive ou négative, selon que la plus grande surface partielle est en déblai ou en remblai.
On étend donc la formule (4) ^ t^^s les cas en écrivant
(5) A = dz^/i± — ix-a).
n. — Tableaux graphiques de M. Rouit (M*
187. Les formules (9.) et (3) du n** 185 servent à construire des tableaux graphiques sur lesquels on détermine directement les largeurs d'emprises.
Prenons pour axes de coordonnées OX, OY (fig, 124) deux droites rectangulaires d'un réseau quadrillé dont l'interligne représente i*°,oo à l'échelle. Chacune des divisions déterminées par le quadrillé sur les axes porte un nombre qui exprime la distance en mètres ( réduite à l'échelle ] comprise entre la division correspondante et l'origine.
Si l'on pose dans la relation ( 2 j
(') Nouveaux Tableaux graphiques donnant les largeurs d'emprise et les surfaces de déblai et de remblai des profils en travers, par M. Rouit. Âutographie, Bordeaux, 1877.
366 CILCUL GRAPHIQUE. — APPENDICE DD TlL.\DCCTECB AD CaAPtTftE VII.
ces ëquations détercnînent, pour chaque valeur particulière assignée à a, une niÊme droite passant par l'origine et fournissent, pour lu valeur de a considérée, les abscisses m, n qui coirespondent respectivement aux ordonnées variables a et /i, La largeur d'emprise :r est égale à la somme ou > la difTérencc de ces abscisses.
On convient que les ordonnées, toutes dirigées dans un sens positif, représentent les valeurs de a ou de /i, selon qu'elles sont mesurées i droite ou à gauche de l'axe des ^. On construit en conséquence, pour chaque valeur de a, deux droites, OU et ON, qui sont symétriques dans le cas jorticulier considéré, mais qui cessent de l'être lorsque t n'est plus égal à l'unité. On mesure les abscisses m entre OT et CM et les abscisses n entre OT et ON.
Pour construire le double faisceau de droites OM, ON, on fuit a ^ A = i o, et l'on attribue à « des valeurs variant de cinq en cinq centimètres. Pour ce ^ + 30, on a, dans la formule [3), appliquée au cas Dpàehi^g. 122,
^•Ji.^.\- ^ ' 7/ ^
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IMMIJJ!lirW1MU.-llli II L
n = /i = 8'*,333. Pour la même déclivité prise en sens inverse (cas Dr), >n«m = » = 12", 5o.
Si a prend successivement les valeurs 00 , + i, o et — 1, c'est-à-dire si la ligne du terrain coupe celle du talus sous des angles de iBS", 90°, 4^" et o", les droites OM et ON prennent des positions inriinées respectivement de 90', 63' 26', 45° et o" sur T horizon taie.
On déterminera, par exemple, la largeur d'emprise x ^ 16™, i5 d'un demi-proGl D/>, dans lequel rtr=8'",oo, A^5",oo, tt^ — o",!», en mesurant sur Tborizintale 8, à droite, le segment de lo" compris entre OYet OM^,,g, et sur l'hoiizonule 5, à gauche, le segment de 6*", 25 corn* |»ris enii'e OT et ON- 0.1».
les valeurs de m:= -
(formule 3] sont entre
TABLBADS GRAPHIQDBg DE H. HOtlIT. aG?
Duns le cas des proGli en rembluî {fig. tnS) le Tuisceau ne présente
plus deux parties symétriques; car, pour des valeurs égales de a et de A,
—5- et de n = - . -
viles dans le rapport | .
Aux valeurs ao, -♦- 1, -t-o,5o, o et — 0,666 de «, correspondent re»- {lectivement, sur l'horiion taie 10, les valeurs o, 4", 5".5i4i lo™!» de m, «I les valeurs 0,6, 8*. 571, iS™,!» de n.
t88. L'un des avantiges des tableaux ëtinl de rendre inutile le dessin des profils, il faut pouvoir, à l'aide des seules données (a et A) particulières i chaque demi-prolil, déterminer celui des six cas {Kissibles dans lequel on se trouve. La distinction résulterait des signes de a et de fi, si elle ne devait porter que sur les quatre cas de demi-proGIs entièrement
hic. '^>-
3A Yl ^«
^ sif. ^ i/i z"
"■^^i ^ jïiz
en déblai 011 en remblai. Mais la déclivité et la cote rouge ont mêmes signes dans les types Dp et BD^, et mêmes si(,'nes, contraires aux précédents, dans les types Bret DRr. Aussi faut-il, pour rendre la distinctiim immé" diatement posable entre tous les types, pouvoir vérifier à vue si la distance «, = - de l'axe à l'intersection de ta plate-forme et du talus (^^. laî)
est plus grande que a, ce qui a lieu dans les cas Dp, Rr, ou plus pelite que a, ce qui répond aux cas BD/), DR r.
On construit à cet effet un tableau auxiliaire dans lequel les ordonnées et les abscisses représentent respectivement les valeurs de A et de a. L'origine des coordonnées est alors le centre d'un faisceau de droites dont les inclinaisons correspondent aux diverses valeurs de a. On lit sur le tableau ainsi disposé les valeurs de ii,^a qui correspondent, pour chaque demi-
270 CALCUL GRAPHIQUE. — APPENDICE DU TRADUCTEUR AU CHAPITRE Vil.
qui correspondent aux valeurs de a^^ rayons en traits pleins pour r = i et en traits pointillés pour t = 0,666.
Les divers tibleaux que nous venons d'étudier s'appliquent à toutes les largeurs de plates- formes, à toutes les cotes sur l'axe, et à toutes les déclivités de terrains. On peut évidemment en tracer de pareils pour toutes autres inclinaisons de talus.
190. Le même auteur a pniposé, pour la détermination graphique des largeurs d'emprises et des aires transversiiles, d'autres tableaux construits d'après les mêmes principes, mais qu'un choix différent de coordonnées a permis de disposer autrement.
Si dans la formule ( i ) on fait
T dz a il vient
si l'on pose
//l = flT/-, // = ///•
et qu'on porte, pour une valeur constante de r, les valeurs de X* en ordonnées, les valeurs de m en abscisses à droite et les valeurs de n en abscisses à gauche, on a, pour chaque valeur de a ou de A, l'équation d'une droite passant par l'origine. Sur chacune des droites ainsi déterminées est écrite la valeur de a ou de h qui lui correspond. Les horizontaies du tableau portent, comme graduations, non les valeurs A- de leurs ordonnées, mais les valeurs correspondantes de a. On dresse deux tableaux distincts, l'un pour t = i, l'autre pour t =: 0,666.
Ces tableaux des largeurs d'emprises nous paraissent mieux disposés que les précédents. Leur lecture est plus facile, et ils ont aussi l'avantage de substituer une seule série d'ordonnëea X à la double série des ordonnées a et //•
Les tableaux pour les aires comportent des modifications analogues. pose, comme précédemment dans (5),
p ^^±- hf nz=± — (or— /î).
Ayant assigné à r une valeur constante, on porte les valeurs de x en or données, les valeurs àep en abscisses à gauche, les valeurs de q en absci à droite. Ou a, pour chaque valeur de /<, Tcquation d'une droite passa par l'origine, et pour chaque valeur de a une équation de la forme
qui est celle d'une droite ne passant plus par l'origine.
TABLBAUX GAAPBIOIIES DB H. ItOVIT. 369
poÏDrïlIées correspondant aux mêmes valeurs de j; — n coupent l'horizontale 10 i des distances du même axe qui sont les { des prérédenles.
Le tableau s'applique k tous les cas, pourvu qu'on tienne compte des signes. Toutefois, dans les demi-proGls mixtes DR r «t ttDp, il ne fournit que les aires excédantes de déblai ou de remblai. Ces aires, seules utiles pour établir le mouvement des terres, ne suffiraient pas pour déterminer le cube total de la fouille. C'est pourquoi un dernier tableau est destiné à fournir les aires effectives de déblai et de remblai dans les demi-profils mixtes.
On remarque, à cet effet, que la valeur de A (équation 5) peut être mise BOUS la forme
A:=±-JAh
qui ressort du simple examen de la fig. I23, et qu'on déduit d'ailleurs de la formule (5) en retranchant de chacun des deux termes du second
membre l'aire commune -î- (.r — a).
Sous la nouvelle forme (6) les quantités
FiR. 137.
Ej4Ï' ^&,>L^
:X.t' ^y^jâ?-"^
■ 7- Z ii^
,ff.?2>
ifi^i"
CiJIilllLLLLLLlM
^fl " 1 1 M 1 , 1 1 1 1,
Sont, dans chacun des cas DRr, RD/>, les aires mêmes de déblai et de remtilai dont la somme algébrique est égale îi A.
Dans le tableau {fig- laj), qui sert à déterminer séparément ces quantités, le côté gauche est réservé aux ordonnées A, aux abscisses px et aux rayons issus de l'origine qui correspondent aux valeurs de o,. On lit, au contraire, du côté droit, les ordonnées x — a, les abscisses y, et les rayons
ou
iy% CALCUL GRAPHIQUE. — APPENDICE DU TRADUCTEUR AU CHAPITRE VII.
haut, montre que les largeurs d*emprises x seront données par les mêmes
droites que les aires, si les ordonnées à Torigine sont les mêmes dans les
a' deux cas, c'est-à-dire si à la relation a'^= — on ajoute cette autre condition
- loga ( A H I zzr log .r
Si Ton préfère ne pas lire les aires et les emprises sur le même système de droites, on pourra, par exemple, dresser Tabaque de telle sorte que les aires soient lues sur les droites à a de base pour i de hauteur, représentées par l'équation (m) et les largeurs sur les droites à 4^** représentées par réquation (n). C'est le cas d'un tableau dressé par M. Lalanne en i85o(»).
192. On peut aussi, selon la disposition plus récemment adoptée par le même auteur ('], faire que, les déclivités a étant lues sur les horizontales du tableau et les cotes h sur des obliques à 4 S** (pente de gauche à droite], les aires soient données par les verticales du tableau et les largeurs d'emprises par des obliques à /{5^ (pente de droite à gauche].
Ces mêmes obliques donnent en outre, au moyen d'une seconde échelle, accolée à celle des emprises, les longueurs t des talus, exprimées par la relation
[x — a] ^n-T«=: -^r VI -h T*.
Un premier tableau à quatre systèmes de droites cotées, disposé comme il vient d'être dit, se rapporte aux deux cas de \>p et Dr (185] d'un demiprofil en déblai avec pente ou avec rampe. Un second tableau, analogue au précédent, permet de résoudre les cas Rr et R77.
Quand le demi-profil est mixte (RD/> ou DRr], il n'y a pas lieu de chercher l'anamorphose des tables qui doivent donner simultanément les deux
(') Voir Lalanne, Mémoire sur les Tables graphiques, etc., Paris, 1846, et Examen critique d'un Tableau graphique publié par M, Davaine et nouvelles applications de Géométrie anamorphique. Paris, i85o.
(") Instruction pratique sur V usage des Tableaux graphiques, suivie de la Collection de huit Tableaux graphiques pour la détermination des superficies de déblai et de remblai des profils en travers, des largeurs d* emprises et des longueurs de talus. Paris, juin. 1879.
