ABC
215. Diviser l'aire d'un triangle en un nombre queUonqvs de parties équivalentes, au moyen de rayons concourant en un point donné dans l'intérieur du triangle.
SoilD(/îg'. i38) le point donné dans le triangle ABC, à diviser,
Fie- 1I8.
par exemple, en cinq parties équivalentes. On joint ce point auï tiois sommets et l'on divise l'un quelconque des côtés, AB, (^
cinq parties cf^iilvs. Par Icpuinl de division 1 onmOnc une parallèle
à AC, jusqu'à la rencontre de DC en E, et par le point E une parallèle à DA, jusqu^à la rencontre de AC en F. Les droites DF, DC appartiennent au faisceau diviseur, car si Ton joint EÂ, C i, on a
CDF = CEF -f- EDF = CEF -\- FEA = CE A = C i A = jCBA.
Par le point G, situé sur CA, à la distance FG := FC du point F, on mène une parallèle à AD, jusqu'à la rencontre de AB en H. La droite DH est un troisième rayon diviseur; car, en menant DG, on a
FDUA = FDA 4- ADH = FDA 4- ADG = FDG = CDF = j- CBA.
On démontre de la même manière, d'une part, que la parallèle 4 J à BC et la parallèle JR à DB déterminent le point K d'un quatrième rayon diviseur DK ^ d'autre part, que la parallèle à BD, menée par le point L situé sur BC, à la distance LK = RC, rencontre AB au point M du cinquième rayon DM.
Le faisceau D)FCRMH divise donc l'aire ABC en cinq parties équivalentes.
216. Former, av^ec deux côtés d'un triangle et une parallèle au troisième côté, un autre triangle qui soit au premier dans un rapport donné.
Soient ABC {fig- iSp) le triangle donné, { le rapport donné,
AB et AC les côtés qui doivent rester com- ^
muns aux deux trianeles. On divise l'un de
ces côtés, AC par exemple, en cinq parties --''' *^'--
égales, et au point de division a on élève
sur AC une perpendiculaire, qu'on prolonge
jusqu'à son point de rencontre D avec le
demi-cercle décrit sur AC. On prend AE = AD
et, par le point E, on mène, parallèlement
•à CB, la droite EF qui répond à la question posée. On a, en effet,
ît, par suite,
ae' = ad'=A2.ac = îac'
AEF AE 1
ACB Yc ^
217. Dhiser un trapèze en un certain nombre départies équiv^alentes, ou de parties qui soient entre elles dans des rapports donnés, au moyen de rayons ayant pour centre : i** le point à l'iîijini des côtés parallèles du trapèze; 2® le point de concours des côtés non parallèles.
Fig, i4o.
Soit, dans le premier cas, un trapèze ABCD [Jig- i4o) à diviser
en trois parties équivalentes. On prolonge les côtés AD, BC jusqu'à leur rencontre en E; on décrit une demi-circonférence sur BE, on prend EF = EC, on abaisse FG perpendiculaire sur BE, on divise BG en trois parties égales, et l'on élève sur cette droite, aux points de division i, 2, des perpendiculaires que l'on prolonge jusqu'à leurs points d'intersection I, II, avec le demi-cercle EFB. On prend enfin EH = El, EK = EU et, par les points H, K, on mène, parallèlement à BA, les transversales HH,, KR|, qui divisent le trapèze dans les conditions demandées. On a, en effet (216),
ËG
soit, en retranchant l'unité de chacun des deux termes,
On a de même
DCHH, = Gi
HiHKKi=ri2.
ECD "ËG"
EUH, El
MaisGi = i2et,daprès(a),^^ = î^-,doncH^HKK,=DCHH„
et ainsi de suite.
S'il s'agit de diviser l'aire du trapèze, non plus en parties équivalentes, mais en parties proportionnelles à des nombres donnés, on remplace la division de la droite GB en parties égales par une division en parties proportionnelles aux mêmes nombres, et l'on
DIVIilON DES AIRES. ugj
effectue toutes les autres parties de la construction comme dans le cas précédent.
Dans le second cas de l'énoncé, on divise Tun des côtés parallèles conformément aux conditions posées, et Ton projette les points de division sur l'autre côté parallèle au moyen de rayons issus du point commun aux côtés concourants.
218. Diviser un quadrilatère quelconque, par une parallèle à Vun de ses côtés, en deux parties qui soient entre elles dans un rapport donné.
Soient ABCD {Jîg> i4o bis) le quadrilatère donné, \ le rapport donné, BC le côté auquel la transversale doit être parallèle. On
Fig. i4o bis.
prolonge les côtés opposés BA, CD jusqu'à leur rencontre en E; on mène, par le sommet D, la droite DF parallèle à la diagonale AC et l'on divise FB dans le rapport donné. La droite i C, qui joint le point de division an sommet C., détache du quadrilatère donné le quadrilatère ADCi, équivalent au triangle FCi, et par conséquent à la moitié du triangle i CB. Pour substituer à la divisoire i C une parallèle au côté BC, on décrit une demi-circonférence sur EB, on élève au point i la perpendiculaire i G à EB, on prend EH = EG, et la parallèle HK à BC est la transversale cherchée. On a, en effet (217 p),
IIBCR 1 B I BC
£HK El E 1 C
agS C*LCIL GRAPHigiR. — CHAPITBE VIII.
219. Diviser un quadrilatère en un nombre quelconque de parties qui soient entre elles dam des rap/torls donnés, au moyen de transversales prenant appui sur deax calés opposés.
Soient AB, DC (./ig. i4") les côlés du quadrilatère ABCD qui doivent cire coupés par les transversales. On mène, parallèlemenl à DC, la droite AA' qui décompose le quadrilatère en un trapèze ADCA' et en un triangle AA'B. Ou divise, comme dans le second cas du n" 2!7, le trapèze en parties qui soient entre elles dans les rapports donnés, au mojen des rajons FF', GG', appartenant au
fis- •i'-
Fi«. 14».
même faisceau II que les c6tés DA, CB, et l'on joint les points F', Cau sommet B. Le quadrilatère donné se trouve ainsi décomposé en trois figures, DFFBA, FGG'BF', GCBG', qui sont entre elles lions les rapports donnés. On projette enfin F* en F", par une parallèle à FB, et G' en G" par une parallèle à GB. Les droites FF", GG" satisfont à la question posée. On voit, par exemple, que DFF'A ne dlITèrc de DFF'BA que par la substitution du triangle FMF' au iriangl»; équivalent MBP.
22i). Diviser un polygone en un nombre quelconque do parties équivalentes, ou de parties qui soient entre elles dans des rapports donnés : i " au moyen de droites concourant à l'un des sommetu ; a" au nuivf.n de droites non assujetties îi cette condition.
Soil,
mpl.
i AlîCDE (/^'. i4a) à ,liv
DIVISION DKS AIRES.
quatre parties équivalentes, au moyen de rayons issus du sommet A. On transforme ce polygone en un triangle équivalent x\C'iy, dont on divise la base CD' en quatre parties égales. On projette les points de division i et 3 en i' sur BG et en 3' sur DE, au moyen de droites respectivement parallèles à CA et à DA, le point 'i se confondant d'ailleurs avec sa propre projection sur CD. Les rayons Ai', Aa, A3' divisent le polygone dans les conditions demandées. On a, en efl'et,
AE3'r=AED - A3'D - AD'D — A3D = AD'3 = ; ABCDE,
et ainsi des autres parties.
On opérerait de la même manière la division en parties proportionnelles, sauf à tenir compte des données correspondantes dans la division de la base auxiliaire CD'.
Soit maintenant le polygone ABCDE {fig* i43) à diviser en trois parties égales au moyen de droites qui ne sont plus assujetties à passer par l'un des sommets. On transforme, comme dans le cas précédent, le polygone en un triangle équivalent A CD', dont on divise la hauteur en trois parties égales. On mène les droites
CG, CK, D'H, D'L, respectivement parallèles au\ droites G2, C i , D2, D I, et Ton joint le point 2 aux points G et H, le point i aux points K et L, par des droites qui divisent l'aire donnée dans les conditions de l'énoncé. On a, en eflet,
CDH2G = CÙ1 H- GC2 4- DH2
= CD 2 4- ce 2 -+- D' D 2 := C D' 2 = ^ ABCDE ;
(le même.
CDL 1 K — C D' i z= J ABCDE
et, par suite,
CDH2G = GîUL I K = Kl LEAB.
Si les aires partielles devaient être entre elles dans des rapports donnés, autres que l'unité, on diviserait AF en segments qui fussent entre eux dans les mêmes rapports, et l'on procéderait, à cette différence près, de la même manière.
221. Diviser Vaire d'un polygone en deux parties qui soient entre elles dans un rapport donné, l'une de ces parties étant un polygone semblable au polygone donné.
Soient, pour fixer les idées, ABGDE {Jig* i44) ^^ pentagone donné, et | le rapport donné entre ce pentagone et le pentagone
partiel qui doit lui être semblable. Sur fie- »^4- un côté quelconque, CD, de ABCDE, on
prend CF = | CD et Ton élève sur CD^ au point F, la perpendiculaire FG qui coupe en G la demi-circonférence CGD.
On prend CH = CG et l'on mène, par le point H, la parallèle au côté DE jusqu'à sa rencontre au point J avec la diagonale CE.
On mène ensuite JK parallèle à EA et RL parallèle à AB. On a ainsi le pentagone HJKLC qui résout le problème. En effet,
eu =CF.CD,
d'où
Ch' CF 'x "CÎ3"3'
CD
Pour étendre aux aires à contour curviligne les constructions précédemment appliquées aux aires à contours polygonaux reclilignes, il suffira de substituer aux périmètres des premières des polygones inscrits ou circonscrits d'un assez grand nombre de côtés. Les solutions seront alors approximatives.
