CHAPITRE IX

TRAHSFOBMATIOH DES nfiïïBES GTJRYIUGHES.

Cot'siNERT, Le calcul par le trait, etc., Paris, i8|0, p. 8.4-86. — Culmaxn, Die graphische Statik, Zurich, 1866, 10-13. — Sculesinger, Fortriige iiber graftsches Rechnen und Grafo-Statik, Wien, 18G8-69, § 94-100. — Creiio:«a, Elementi di Cnlcolo gra/ico, Torino, iS';^, n*' 101-107, 147-148. — Cllmann, Die graphische Statik, Zurich, 1875, n»' 21-24.

I. — Transformation d'une aire limitée par des arcs de cercle.

224. On sait que l'aire d'un secteur circulaire est équivalente à celle d'un triangle qui aurait pour sommet le centre de l'arc et pour base la longueur du même arc rectifié suivant une de ses tangentes. On se base sur celle propriété pour transformer les aires limitées par des arcs de cercles.

Pour développer approximativement un arc AB {Jig- 147) sur sa

tangente en A, on prend une corde /i, assez petite pour remplacer, sans crrcursensible, l'arc a qu'elle sous-tend, et on la porte sur Tare AB, à partir du point B, autant de fois que cet arc la peut contenir. On arrive ainsi à un point très voisin de A, que Ton peut considérer comme commun à l'arc et à la tangente. On porte enfin, à partir de ce point, la longueur a sur la tangente autant de fois qu'on l'avait j)récédemment portée sur l'arc.

Proposons-nous de déterminer une valeur de l'arc «, telle que si l'on mesure, par l'inscription répétée de sa corde, l'arc AB = /, l'erreur soit plus j)etite qu'une quantité donnée d.

TRANSFORMATION D*UNB AIRE LI3ilITKE PAR DBS ARCS DE CERCLE. 3oi

Cette erreur est égale à la différence entre Tare a et sa corde, répétée autant de fois que a est contenu dans /. On a donc, r étant le rayon des arcs / et «,

^ ' a \ 'i.rj

mais on a, d'antre part, en développant,

ir. sin — — {i —— • — -f- — • — ; — -+- • • • •

La valeur de a élant toujours assez petite pour que le terme en a^ et les suivants soient négligeables par rapport au terme en a^, on peut écrire

ir, sin — = rt —

Substituant dans (1), il vient

Si, Tunité élant le centimètre, on faitrf = -|-f^, ou, pour simplifier, d = Yi^ ce qui donne une approximation suffisante dans presque toutes les applications, on a

Il importe de ne pas donner à a une valeur inférieure à la limite indiquée par cette formule; car l'inscription de la corde a dans l'arc /, répétée un trop grand nombre de fois, ferait perdre en précision plus qu'on ne gagnerait à réduire la différence entre Tare et sa corde.

225. Le secteur OAB est transformé par l'opération précédente en un triangle OAC, que l'on sait réduire à une base donnée b.

L'aire du segment circulaire AB est équivalente à la différence des aires des triangles OAC, OAB, c'est-à-dire (90) à l'aire bf du quadrilatère croisé OBAC. La base b étant arbitrairement choisie.

3o2 CALCUL GRAPHIQUE. — CHAPITRE I\.

on clétermîneypar l'une des méthodes exposées au Chapitre IV. On construit, par exemple, le triangle rectangle OAF, avec OA pour hypoténuse et AF=:2i pour côté de l'angle droit; on mène BE et CE respectivement parallèles à OA et à OF, et Ton a