II. — Application

231. Soit proposé de réduire à une base donnée, ib^ l'aire d'un arc de voûte compris entre deux arcs circulaires non concentriques [Jïg» i53) dont les centres sont respectivement aux points O et i.

On rectifie les deux arcs sur leurs tangentes initiales, AB et 32. Les deux secteurs circulaires se transforment en deux triangles OAB et i32. La surface de l'arc de voûte est équivalente au triangle extérieur OAB, diminué du triangle intérieur i32 et du quadrangle OAïC, c'est-à-dire de l'aire OA32iCO. En retranchant cette aire de OAB, on obtient le polygone croisé ABOCi23A, dont les parties ombrées, situées à l'intérieur du triangle OAB, doi-

(*) Le problème do la rectification du cercle a donné lieu à une infinité d'aulros solutions. On en trouve une centaine dans la seule collection du Scientific America/i. Voir aussi E. Ferais, Solutions graphiques de la division des cercles ou arcs de cercles et de différents autres problèmes de Géométrie pratique. Paris, 1867.

SoT) CALCUL GRAPHIQUE. — CHAPITRE IX.

venl être comptées en sens positif, tandis que la partie pointillée, extérieure au même triangle, doit être comptée en sens négatif. On transforme ce polvgone en un quadrangle croisé AIK)C| en menant (91) les droites 1I4, vè22, 3C< respectivement parallèles à Ca, à 1^3 et à a^A, jusqu'à la rencontre du côté fixe OC.

On détermine ensuite Taire du quadrangle ABOCi par les moyens connus, c'est-à-dire en construisant sur la diagonale AO,

prise comme Inpoténuse, un triangle

Fi{î. i')4. rectangle dont un côté de l'angle

.'-, droit soit éffal à 'ib et en mesurant.

sur la parallèle menée par le point B au second côté de Tangle droit du

même triangle, le segment y* compris entre le point B et la droite menée par Cl, parallèlement à AO.

La figure devient un peu plus simple quand on n'opère que sur une moitié de la voûte [fig- i54). On remplace, en procédant comme il vient d'être dit, la surface de la demivoiHe par le polygone équivalent ABC03i«i A, qui a le même nombre de côtés que dans le cas précédent.

On réduit ensuite (9i) le contour AiaSo à la droite AC|, et l'on obtient le quadrilatère AB(Xj,, dont Taire est représentée parie produit des segments kL v\f.

III. — Transformation des aires limitées par des courbes quelconques.

232. Dans la transformation des aires limitées par des courbes quelconques, on considère ces courbes comme composées d'une suite de petits segments paraboliques.

L'aire d'un segment parabolique est égale (G. 2o5) aux \ de Taire (lu triangle compris entre la corde du segment et les tangente.* aux extrémités de Tare, c'est-à-dire (G. 138) au produit de la corde par les ^ de la llècbc du segment, mesurée normalement à la corde. Celle aire est, par conséquent, équivalente à celle d'un triangle

TRANSFORMATION DES AIRES LIMITÉES PAR DES COt'RBES QUELCONQUES. 3o7

ayant pour base la corde et pour hauteur les j de la flèche h

(fis- >55).

Cela posé, si la courbe qui circonscrit une aire à évaluer esl divisée en une suite d^arcs assez petits pour qu^on puisse les considérer approximativement comme des arcs paraboliques, chacun des segments paraboliques compris entre Tun de ces arcs et sa corde pourra être transformé en un triangle équivalent, ayant pour base la corde elle-même et pour sommet un point quelconque de la parallèle à cette corde, situé à la distance \h. On peut disposer la figure de telle sorte que le sommet de chaque nouveau triangle se trouve sur le prolongement d'un côté du triangle précédent {Jlg- i56). Les sommets des deux triangles consécutifs sont alors alignés avec le point commun aux hases de ces triangles.

Le contour curviligne se trouve ainsi transformé en un polygone équivalent dont les côtés sont en même nombre que les segments

Fig. i55. Fig. i56.

du contour. On réduit ce polygone à une base fixe parles moyens ordinaires.

La grandeur à donner aux arcs du contour qui doivent être remplacés par des arcs paraboliques dépend évidemment, pour un degré d'approximation donné, de la nature de la courbe à transformer. Nous nous bornerons à rechercher la mesure de Terreur que l'on commet lorsqu'on détermine par cette méthode Taire d'un segment circulaire.

Soient 2/ la corde de ce segment, f sa flèche, 2a l'angle au centre, r le rayon du cercle. L'aire du segment, différence entre Taire du secteur et celle du triangle, est

mais Ton a

Umi;-a=:T et /•=!-/--*-

CklXlVL GRAPHIQUE. — CHAPITRE IX.

Substîluant et supposant le rapport j très petit, on a, en développant les formules en séries,

L*erreur que l'on commet en remplaçant cette aire par celle du segment parabolique ^7 est plus petite que î (/*• i ( 7 ) O" plus petite

que le produit de Taire considérée par ( -H ) » c'est-à-dire par ~i, si Ton admet que la flèche soit égale au dixième de la corde.