QUADRATURE APPROXIMATIVE PAR LES FORMULES DE SIMPSON, ETC

d^indices pairs /^o, /'21 •••? fhi+i- L'équidislance A'C des ordonnées étant représentée par ^i, on a, pour Taire du premier trapèze rectiligne,

AA'D'Dr=i^(//o-h//,).

Remplaçons le petit arc de courbe AD par un arc parabolique du second ordre passant par les trois points A, C, D, et ayant pour axe une parallèle à la direction des ordonnées. La corde AD r-iant coupée en C| par l'ordonnée C^C = /i|, Taire du segment pa- ■•abolique AGD a pour expression (G. 2oo)

En ajoutant cette aire à celle du trapèze rectiligne AA'D'D, on a, «iprès réduction, pour Taire du trapèze curviligne de mêmes sommets,

Les aires des trapèzes paraboliques DD'F'F, FF'H'H, . . ont pareillement pour expressions

et la somme de toutes ces aires partielles donne comme valeur approchée de Taire proposée

^^= i b[/to-h h^^i-^ 2{h^-\- /i^-h . . . hfi-y) -f-4(//, -i-/i3-|- ... -h //„)],

ou, en désignant par T,hp la somme des ordonnées d'indice pair el par Z/i/ la somme des ordonnées d'indice impair,

Celte formule, due à Simpson (^), donne des résultats d'autant

(*) Sl]iP8n?(, Mathematicaî disseï talions on physical and anal) tical subjects, London, 17^3. Catala:< a remarqué {Nouv. Ann. de Mathém.y t. X, Paris, i8ji, p. 4^^) <i"* chacun de^arcft paraboliques de Simpson étant indépendant des arcs qui le précèdent ei qui le suivent, la courbe nouvelle, composée de l'ensemble de ces arcs, loin de former une lijjne continue, présente presque toujours des jarrets très sensibles. Pour obvier à cet inconvénient, Catal.\m propose qu'après avoir fait passer un premier arc parabolique par les extrémités des trois premières ordonnées, on ne cou-

plus approchés que les arcs de paraboles sont plus près de se con- Condre avec ceux de la courbe prîinilive; mais elle exige que Ton connaisse la valeur numérique d'un grand nombre d'ordonnées, et elle entraîne par conséquenl des calculs assez laborieux. On réduit ces inconvénients en appliquant la formule suivante, proposée par Poncelet.

Fig. i38.

ho «^ At »^0 '•

'h-'An,

23i. Soit ABCD (y7^. i58) Taire proposée, comprise entre la

droite AD, la courbe BC el les ordonnées extrêmes Aq et //«^|. On trace, comme précédemment, entre ces ordonnées extrêmes, les ordonnées intermédiaires At, /ij. . . ., /?«, dont Técartement constant

On mène les tangentes à la courbe BC aux extrémités des ordonnées A i, /îj, ... , d'indices iinpairs, et l'on suppose l'écarte-

servc de cet nrc que la partie comprise entre les ordonnées h^ el h^\ on trace ensuite, dans les mêmes conditions, un second arc passant par les extrémités des ordonnées A|, A,, //,, et l'on ne conserve de cet arc que la partie comprise entre les ordonnées A,, A,; on procède de même jusqu'à la fin de l'opération, et le seul arc dont on conserve tout le tracé est celui qui passe par les e&trémités des trois dernières ordonnées. On répète la même opération en sens inverse, et l'on prend la moyenne des deux aires ainsi obtenues.

La formule donnée par Catalan est la suivante :

M. Lf.clert (Annales du Génie civil, 1868) a, de son côté, proposé la modificatiou suivante à la formule primitive, bien connue, à\ic formule des crapèses,

■* -Il

Lorsque le petit arc du trapèze mixtili{;ne compris entre deux ordonnées présente une courbure trop prononcée pour être négligeable, Cocsinert ( Z> Calcul par le trait y p. 8.^-86) propose de substituer à la moyenne des ordonnées extrêmes du trapèze une ordonnée réduite que l'on obtient en prenant le sixième de la somme de ces deux ordonnées extrêmes, augmentée de quatre fois l'ordonnée intermédiaire; ce qui revient à supposer que l'on remplace le trapèze mixtiligne primitif par deux trapèzes rectiligncs comprenant entre eux un rectangle dont la hauteur serait égale à Tordonnée intermédiaire.

QUAbRATURB APPROXIMATIVE PAR LES FORIIULKS DE SIMPSON, ETC. 3l I

ment AU assez petit pour que deux tangentes consécutives se coupent sensiblement sur Tordonnée intermédiaire d'indice pair. Le polygone de tangentes ainsi construit et le contour polygonal HLNM . . . servent de limites à des aires équivalentes, car les trapèzes rectilignes de la première sont respectivement équivalents aux rectangles de la seconde.

On joint, d'autre part, les extrémités des ordonnées consécutives d'indice impair, et Ton complète le contour inscrit en joignant l'extrémité de /i< à celle de Aq, et l'extrémité de //„ à celle àe A/î+i. On voit immédiatement que le polygone de cordes ainsi déterminé et le contour BFGLNM . . . servent de limites à des aires équivalentes.

L'aire limitée par les tangentes et l'aire limitée par les cordes

ont donc même diflerence que les aires HLNM ... et BFGLNM

Cette différence est représentée par les deux petits rectangles, tels que BFGH, distingués par des hachures aux deux extrémités du contour; elle a donc pour expression

L'aire cherchée étant comprise entre les aires P et P des polygones circonscrit et inscrit, on en aura une valeur approchée en prenant la moyenne des deux aires polygonales, ce qui revient à retrancher de la plus grande la moitié de la différence « (*). L'aire circonscrite étant égale au produit de la double équidistance b par la somme des ordonnées d'indice impair, on a, comme expression de l'aire limitée par la courbure BG,

On voit que si le nombre de divisions de la base est égal à /î, la formule de Poncelet ne fait intervenir que les - ordonnées d'indice impair, plus les deux ordonnées extrêmes d'indice pair, tandis

(') Le procédé d'approximation par nmcdiacion entre le plus et le moins • est indiqué par « Nicolas Ciiuoiet, parisien », dans le Tripartj de Nicolas en la science des nombres^ lequel fut cômance, medie et iiny à Lyon, sur le Rosnc, Tan de salut \^%\* » [ Bullettino di Bibliografia c di Storia délie Scienze mat. e fis.j t. XIII, Roma, 1880^ p. 814.)

5l:i CVLCCL GRAPHIQUE. — CHAPITRE IX.

que la formule de Simpson exige que Ton connaisse la valeur numérique de 71 -H I ordonnées.

235. Si Téquidistance b a été prise assez petite pour qu^on puisse considérer comme des arcs paraboliques les arcs de courbe compris entre deux ordonnées consécutives d'indice impair, chacun de ces arcs partage le triangle formé par la corde qui le soustcnd et par les tangentes à ses extrémités en deux parties dont Tune, comprise entre la corde et la courbe, est double de l'autre, comprise entre la courbe et les tangentes (G. 255). La différence des aires limitées par le polygone des tangentes et par la courbe BC est donc égale au tiers de la différence a entre les aires des deux polygones circonscrit et inscrit. On a dès lors, comme expression plus approchée de l'aire limitée parla courbe,

(') On a vu (231) que l'aire approchée A, donnée par la formule (3) est égale à

L'aire exacte S étant ncceisairement comprise, soit entre F et P 1 soit entre

P'-(- 7 et P', l'erreur que Ton commet en substituant A, à S est moindre que

mais {fig. i:»7),

VtA = MG', ^l±A±i = NG'.

La limite supérieure de l'erreur a donc pour expression géométrique le produit

b 7.MN.

L'aire approchée A,, donnée par la formule (3), est égale à

L'aire exacte, toujours plus rapprochée dn P que de P', ne peut se trouver qu'entre P cl P — ^ ou entre P — ^ et P • Dans le premier cas, l'erreur est moindre que

-; dans le second, elle est moindre que -• Elle est donc toujours moindre que

On pourra, dans l'un et l'autre cas, tracer, d'après une première valeur d'essai atirihuéc à b^ les couples d'ordi)nnees extrêmes, l'ordonnée médiane et les droites AH,

QUADRATURE APPROXIMATIVE PAR LES FORMULES DR SIMPSON, ETC. 3l3

236. Les formules (i) et (3) donnent un résultat identique et

(X; on mesurera ensuite MN, ce qui permettra de vérifier, avant tout calcul, si la

limite d'erreur t*MN ou ^«MN est compatible avec la nature de l'opération.

Le général Parmentier parvient à la formule (3) en éliminant lA entre la formule (i) de SiMPSO!! (233) et une autre formule que Ton obtient, d'une manière analogue, au moyen d'arcs paraboliques croisant les premiers. Ces arcs raccordent respectivement les sommets d'ordonnées (A,, A,, A,). (A,, A^, A,), ..., (A„,, A^, A^^,); on complète l'expression de l'aire approchée en ajoutant les deux trapèzes rcctili{;nes extrêmes, tels que ABKU {/tg* i38). Cette aire auxiliaire A4 est une fonction de ï,h^ et de SA , et l'oh peut prendre comme nouvelle valeur approchée de l'aire à contour curviligne, soit aA, — A4, soit 2A4 — A,, ce qui permet d'éliminer à volonté SA^ on £A,. L'aire A4 étant moins approchée que A, puisqu'on s'est contenté, pour les deux éléments extrêmes de la première, de l'approximation grossière du trapèze inscrit, il convient de préférer l'aire a A, — A,, qui fournit, après réductions, l'aire A^ de la relation (3). ,

Le général PARMEMTiERa donné cette relation, d'abord dans le Mémorial de Vofficier (in Génie (n*> 16, i85/|, p. '^90), puis dans les Nouvelles annales de Mathématiques (i^* série, t. XIV, i855,p. 390). Le général Piobert est arrivé à la même formule par des considérations difTérentcs (IS'om'ellex Annales de Mathématiques, 1'* série, t. Xlll, 1854, p. 323. Voir aussi Parmemtier, Sîmpli/ication de la Méthode d'inter/tolation de Thomas Simpson, dans les Nouvelles j4nnales de Mathématiques, 1* série, t. XV, i87(>, p. 24» , et Extrait d'une lettre du général Parmentiery dans la Nouvelle Correspondance mathématique, t. V. Bruxelles, MDCCCLXKIX, p. 166).

Le général Parxentier est arrivé depuis {Nouvelles formules de quadrature, dans le Compte rendu de la onzième session de l'y/ssociation française pour Vavancement des Sciences, Paris, i883, p. 64) à une nouvelle expression de l'aire approchée, en éliminant 21 A^ de la formule de Simpson, au moyen d'une aire auxiliaire dans laquelle le premier et le dernier côté de la ligne polygonale, limitant le^ deux trapèzes extrêmes, 5ont remplacés par les segments d'arcs paraboliques qu'ils sous-tendent. Ou a ainsi

(',) A, = ^ [is*,+ 4 s*,- ¥ (/'.-+-/'.*.)-*-(/',-+-*.)- i(/',-H A.-,)] •

En retranchant cette aire du double de l'aire de Simpson, donnée par la relation (1), on a cette expression nouvelle

(5} A,= 2A,-A,= ^|^22:A,H-K^-+-^'.^.)-i(/',H-AJ-f-^(A,-4-A„,)].

Cette formule, moins simple que (3), exige que l'on connaisse deux ordonnées de plus, Aj et A^, ; elle ne conduit cependant pas à des résultats beaucoup plus opprochés. Elle donne, comme les formules de Simpson et de Catalan, des aires exactes pour les arcs de paraboles du deuxième et du troisième degré. M. Mansion a d'ailleurs remarqué {MathesiSf supplément à la livraison de septembre 1881) que les aires A^ du général Parmentieb, A, de Simpson et A de Catalan (note de la p. 3io)

ont entre elles la relation

Ai= 3A, — 2A;

On sorte qu'on arrive aussi à la formule (5) en éliminant 2A entre les formules ^le Simpson et de Catalan.

3li CALCUL GRAPHIQUE. — CHAPITRE IX.

mathématiquement exact, lorsque le contour curviligne de Taire est un arc de parabole.

Si toutes les ordonnées paires avaient la même longueur h et toutes les ordonnées impaires la même longueur A'> A, la formule de Simpson correspondrait à une série de branches ayant leurs sommets arrondis aux extrémités des ordonnées impaires et se relevant des deux côtés pour recouper les branches voisines à angles aigus sur les ordonnées paires. I^ formule de Parmentier donnerait au contraire une suite d'arcs paraboliques raccordés les uns aux autres, aussi bien sur les ordonnées paires que sur les impaires, ce qui est beaucoup plus conforme aux conditions ordinaires de la pratique. La formule (i) donne donc des résultats moins exacts que la formule (3) lorsque la courbe proposée ne présente pas d'angles rentrants.

Il en est autrement dans certains autres cas, et notamment dans celui de Vàjîg, i5ç). La courbe VBC se compose de deux branches

Fig. iSc).

\rirv I

hn

(jui présentent leur convexité à la base, qui se coupent en B sur une ordonnée d'indice pair et qui sont terminées par deux segments MA, NC parallèles à XY, de telle sorte que /ro= Ai et 1i,i = /i„+|. Les formules (2) et (,*i) donnent alors identiquement

A =z blhi,

et chacune des aires partielles A/// est un trapèze rectiligne innsui, limité par la tangente à la courbe à son point d'intersection avec l'ordonnée moyenne ///. L'aire totale, calculée d'après l'une des deux formules considérées, est donc inférieure à l'aire exacte de la quantité représentée par la somme de tous les petits triangles

QUADRATURE APPROXIMATIVE PAR LES FORMULES DE SIMPSON, ETC. 3i5

mop^ noq. La formule de Simpson donne en ce cas une valeur plus approchée, à raison de la correction qui résulte du terme bli^k»

Le résultat fourni par la formule (2), comme celui qu'on obtiendrait en prenant pour valeur approchée l'aire du polygone inscrit, est trop faible ou trop fort, selon que la courbe tourne sa concavité ou sa convexité vers la base. Avec la formule (3), au contraire, l'erreur est de même sens que si l'on prenait pour valeur approchée l'aire du polygone circonscrit. Quant à Terreur de la formule (1), elle est généralement de même sens que celle de la formule ('.i ).

3l6 CALCUL GRAPHIQUE. — APPENDICE DU TRADUCTEUR AU CHAPITRE IX.

Aire mazima pour on périmètre donné (i).

237. L'éUide du profil d'un canal comporte souvent la détermination du plus petit périmètre mouillé correspondant à une certaine aire mouillée, ou de la plus grande aire correspondant à un périmètre donné. On démontre en Géométrie élémentaire que, si le périmètre est formé de segments rectilignes dont les longueurs sont d(mnées, Taire est maxima lorsque ce périmètre est inscrit dans une demi-circonférence.

(*) Voir sur cette question, et sur quelques autres qui s'y rattachent, Lacram;e. Leçons sur le calcul des fonctions, I.cçon XXI*. — Steiner, Mémoire publié dans le Journal fur die reine und angewandte Mathematik^ de A.-L. Crelle, l. XXIV, Berlin, i84i. — O. BoNMET, Mémoire sur la théorie générale des surfaces, dans le Journal de V École Polytechnique, t. XIX, 32* cahier, 1848. — Paul Serret, Des Méthodes en Géométrie^ Paris, i855, p. io3 et suiv. — Ci'LMANn, Die graphische Statik, Zurich, 1875, n** 25. — Ed. CoLLiCNO.'t, Hydraulique, Paris, 1880, p. 276 et suit.

On trouve la première trace de la doctrine des isopérimètres dans le Trait.' des isopérimètres de Zénodorb, que nous connaissons en partie par le Commentaire de Thkon sur la Syntaxe mathématique de Ptolémé4-:. ZkNODORE y démontrait que, parmi les figures isopérimètros d'un même nombre de côtés, la plus grande est celle dont les côtés sont égaux. 11 en déduisait la propriété du cercle d'envelopper l'aire maximum pour un périmètre donné (Cantor, f'orlesungen iiber Geschichte der Mathematikt t. I, Leipzig, 1880, p. 3oH-3o9, 379. — Max. Marie, Histoire des Sciences mathématiques et physiques, 1. 1, Paris, i883, p. 2()i). Quelques auteurs attribuent même à Pttuacore, non seul(>ment lu propriété précédemment énoncée du cercle, mais encore celle de la sphère d'être maximum parmi les figures de même surface (Rolxué et de Comrerocsse, Traité de Géométrie élémentaire, 3* étlit., Paris, 1873, p. xiii\ Il est en tout cas certain que Pappus, dans le Livre V de ses Collections matin' matiques, a repris les propositions de Zénodorb sur les figures planes et les a étendues aux solides. (Max. Marie, /or. -cit., t. îl, p. 5o.) Le cinquième Livre des Coniques d'ApoLLoïUi's contient en germe ce que nous ont appris depuis les méthodes analytiques sur les questions de maxima et de minima (Halley, Appollonii Pergœi Conicorum libri octo, Oxoniae, 1710; Max. Marie, hc. cit., t. I, p. 172, t. Il, p. 58). Liiuilier (/)« relatione mutua capacitatis et ter minorum fgur arum, 1782) a résumé, corrigé et considérablement accru, par ses propres découvertes, les travaux faits sur ce sujet depuis les Grecs jusqu'à R. S1MS05.

Kepler parait avoir observé le premier la propriété dont jouit une grandeur va-

AIRE HAXIHA POIR VU péRIVfcTBE DONNÉ. 3l7

Steiner a résolu leproblème diins le cas réciproque <iù l'onconnuit, non jilus les Innijueurs des divers segments, mais leurs directions et la longueur du périmètre. Culmann a donné de la même question une solution géométrique directe, dont la suivante ne diffère que par la forme de la déninnslrution.

Soit A,B,B', A', [fig. i6o) un proBl dans lequel A, A,' est le niveiiu de

l'eau, tnndis que les tniis autres côtés, dont la sonimc est égale à une longueur donnée p, sont respectivement parallèles à trois directions données. On prend, sur les prolongements de B, B',, CB, = A,B,. B',C'= B', A'[, eu sorte que ce' =: /7. La jNiralIcle à CA,, passant par Bj, et la parallèle à

Halile de ne inrior qne par dF|;Tés iiisrnsibles dans le voisinage de ion i^Ut do niaxiiDuni oii de iiiinÎTniim {Xora iierromeiria dolioram, ne; acrriiil, sureoinelri'rr Mrrhimedeie supplrmenium, Linciî, t(ii.î) Uii peu plus tard (|636), Fermât pieiiiail cipremier aperçu dnna m cétèhre mcttinde : Df maximii ei mhiimii.

L'un des problème* de maiima et de minima qui onl orciipé les [;eoiii<-tn?s consiste n IrouTor, pour un lien donné, le jour de l'année où le crépuscule est le plus court. Résolu pour la première fols par Prdhu >i;nEi (\usii-s, De crrpuieulU liber niai, LUliunue, ijf,i, et Peiri Xomi Optra, Bile, i3gi;, it a été n-pria en iCpJ par

3l8 CALCUL GRAPUIQUE. — APPENDICE OU TRADUCTEIH AU CIIAPITHE IX.

C'Ai, passant par B^, coupent respectivement A| Aj aux points Df et D|. On mène : i" les droites CD,, C'j D', qui se coupent en D; 2** Thorizontale passant par D, qui coupe CAi en A, C'A', en A'; 3*^ les droites AB, A'B', respectivement parallèles h AiBi, A'^B^. Il s'agit de démontrer que le profil ABB'A' (dont le périmètre mouillé est égal à /?, car AB = CB et B'A' = B'C') est, parmi tous ceux qui satisfont aux données, celui qui crmticnt la plus grande aire.

Traçons d'abord un troisième profil A^B^B'^A,, tel que la ligne de niveau AA' soit comprise entre Ai A', et A^A',. Les parallèles menées par B, à CA et par B'j à C'A' coupent A^Bj respectivement aux points D, et D',.

Les deux faisceaux de rayons parallèles de direction AA' et de direction BD, respectivement perspectifs au faisceau de direction AB (G. UO), sont projectifs [G. 41). Ils ont d'ailleurs comme rayon uni la droite à Tinfini qui joint leurs centres. Us sont, par conséquent, perspectifs (G. kk) et engendrent la ponctuelle DDjD} Les deux faisceaux des directions AA'

et B'D engendrent pareillement la |K)nctuelle DD'jD', . . . , perspective à la première, et les deux ponctuelles ont comme élément uni le point D d'intersection des rayons BD, B'D, déterminés par la position particulière A A' de la ligne de niveau.

Jeax Bernoclli (Opéra omnia, t. I, p. 64). Hachette {Correspondance sur l* Ecole Polytechnique ^ t. 1, p. lâg) rapporte que Monge a traité cette question en menant un plan tan(jeiit à deux c6nes de môme sommet. On trouvera dans l'Ouvrage précité de M. Paul Serret (p. iq6) la solution du maroiis de Liiospital, fondée sur le principe de Fermât {Analyse des injiniment petits, Section 111, exemple 13).

Le problème ne consiste pas toujours, comme dans le cas précédent, à déterminer sur une courbe la position d'un point mobile, correspondant au maximum ou au minimum d'une grandeur variable. On a souvent à chercher, parmi toutes les lignes dont les points extrêmes sont assujettis à certaines conditions communes et qui restent complètement indéterminées dans l'intervalle de ces points, celle pour laquelle une grandeur, dont la valeur dépend de la ligne tout entière, devient un maximum ou un minimum. (Euler, Methodus inveniendi lineas cnrvas, maximi minimise proprieta te gaudenteSj sive solutio problematis isoperimetrici^ latissimo sensu accepti, Lausanne, i74i« P* 3). Le premier problème de ce genre et le plus célèbre est celui de la brachistochrone ou de la plus courte descente, proposé par Jean Berhoclu. En publiant {Acta Lipsiœ, mai 1696. p. 206) la solution particulière à laquelle il était parvenu. Bernoilli mettait en doute la possibilité de trouver une méthode générale applicable à toutes les questions du même genre. Eiler {loc. cit.) et Lagrange {fiecherche sur la méthode de maxiniis et minimis; Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies, etc., dans les Miscellanea Taurinensia, X. I à IV, 1760-1769), devaient, plus tard, mettre formellement en défaut les prévisions de Bernoulu. A côté de leurs célèbres méthodes analytiques, on ne doit pas omettre de citer les belles recherches purement géométriques de Maci.ai'Rix {A complète System of fluxions, Edimbourg, 1742, traduction française par le P. Péze:<a8, Paris, 1749, t. Il, n«»* 572, 574, 578, 588).

AIRE IIAXIMA POUR UN PÉRIMÈTRE DONNÉ. 3l9

Cela posé, on voit immédiatement que le quadrilatère ABB' A' est équivalent au triangle CDC; que le quadrilatère A^B^B'^A'} est équivalent au quadrilatère croisé C DiD', C et, par conséquent, au triangle CDC diminué du triangle DD,Dj; enfin, que le quadrilatère A^BiB', A , est équivalent au quadrilatère C DjDjC et, par suite, au triangle CDC diminué du triangle D DjD'j. Le quadrilatère A BB' A' a donc une aire supérieure à celles des quadrilatères qu'on obtient en prenant des lignes de niveau supérieures ou inférieures à AA'.

On voit d'ailleurs que BD, parallèle à la base CA du triangle isoscèle CAB, est bissectrice de l'angle ABC' . Pareillement, B' D est bissectrice de l'angle A'B'C. Le quadrilatère d'aire maxima ABB'A' est donc circonscrit à une demi-circonférence dont le centre est au point D.

On peut remarquer que les faisceaux semblables et perspectifs des directions AB et A'B' se coupent suivant une ponctuelle /i, pass<int par S (*), et déterminent sur la droite CC deux ponctuelles semblables et opposées dont les éléments unis sont le point à Tinfini et le point P d'intersection ôe u el de c {G, k2). Lorsque les éléments B et B' s'unissent en P, le quadrilatère variable se réduit à un triangle MPM' inscrit à SCC.

238. Étant donné un profil ABB' A' [^g, i6i), circonscrit h u:te demi-

Fig. i6i

circonférence, construire un profil semblable et tloiU l'aire soit égale à une mre donnée S.

On réduit d'abord le quadrangle ABB'A' à une base ib^ en disposant la

C) En d'autres lermcs, d'après une propriété bien connue, les côtés des triangles variables, tels que A, E A/, pivotant autour de trois points situés sur la droite h l'infini du plan, les sommets de ces triangles sont sur trois droites qui concourent en un point S.

figure de telle sorte que la hauteur correspondante /soit à mesurer sur Fun des côtés â'B' du profil, à partir de A'. A cet effet, on mène (90) AC parallèle à A'B jusqu'à la rencontre deB'B. On a ainsi le sommet C du triangle CA'B' équivalent au quadrangle donné. On prend ensuite sur AX le point D, situé à la distance ib de A'B\ et la parallèle AE à DB' donne A'E my(87). L'aire du profil cherché n'étant pas bf^ mais S =: A/|, les côtés de ce profil doivent être aux côtés de ABB'A' dans le rapport

-y—» Pour déterminer celui de ces côtés qui est homologue à A'B', on dé-

crit une demi-circonférence sur A' F ==/!, on élève la perpendiculaire EG il Pexlrérailé de /, on joint GA', GF, on prend, sur A' G, A'H r=: A'B', et l'on mène HB', parallèle à GF. Le segment A'Bj est, dans le profil cherché, rhomologue de A'B'. On a, en effet, en remarquant que A'B' = A' H,

On complète le sec(md profil par les droites B^Bj, B|Ai, respectivement parallèles à B' B, BA.

239. 11 est facile d'étendre les considérations des deux derniers numéros, soit aux quadrilatères circonscrits à une circonférence entière, soit aux polygones d'un nombre quelconque de côtés, circonscrits à une demi-circonférence ou à une circonférence entière. On est ainsi conduit à ces propriétés plus générales :

Les côtés d'un polygone se déplaçant ^ sans cesser d*ctre respectivement parallèles à des directions données, le rapport de l'aire au périmètre est maximum lorsque le polygone est ciiconscrit à une circon/érence.

Dans un canal découvert, le rapport de Vaire au périmètre mouillé est maximum lorsque les cotés en nombre quelconque de ce périmètre sont tangents à une demi-circonfétence dont le centre est sur la ligne d'eau.

P,v ,52, âW. Lorsque, dans le profil à aire

j P , ^, maxima ABB'A' de la fig. iGo, le

^rrrf I VV côté BB' devient parallèle à AA', les

N\ r\ "^'l/ angles ABD, ADB sont qu'aux, et Ton

>^ ;\^\ Jj aABrzrAD, A'B' = A' D. En d'autres

^^. \ 2^^ I termes, la somme des longueurs des

B^-..-^- "^ deux talus est égale à la largeur du

canal à la ligne d*e;iu.

Soient t, r, [fig» 162) les largcntcs des angles A'AB, A A'B', b la basc^ BB', h la hauteur du trapèze.