VI. — Multiplication des droites par des rapports

15. 11 est nécessaire de distinguer tout d'abord les multiplications et les divisions graphiques effectuées entre des droites et des rapports de celles qu'on opère entre des droites et d'autres droites, entre des droites et des surfaces, etc.

Dans le premier cas, on a toujours pour résultat une droite.

Dans le second cas, au contraire, le nombre des dimensions est modifié. La multiplication d'une droite par une droite donne en effet une surface, et celle d'une surface par une droite donne un volume. Vice versa, la division d'un volume par une droite donne une surface, et ainsi de suite.

Nous nous occuperons à peu près exclusivement du premier cas, c'est-à-dire de la multiplication et de la division entre droites et rapports ou entre rapports et rapports. Ce n'est que très exceptionnellement, et dans certaines conditions données, que nous traiterons des mêmes opérations entre droites.

16. Le mode le plus simple pour effectuer la multiplication consiste à ajouter un nombre convenable de fois l'un des facteurs à lui-même. Cette opération n'est qu'une addition multiple, dans

MULTIPLICATION DES DROITES PAR DES RAPPORTS. l5

laquelle interviennent deux termes et une condition : le premier terme est la grandeur quelconque qu'il s'agit de répéter plusieurs ibis ; la condition exprime le nombre de fois que cette grandeur doit être répétée; enfin, le second terme ou produit exprime le résultat de l'opération.

Mais ce procédé, tout simple qu'il soit, ne répondrait pas à la condition essentielle du calcul graphique, laquelle consiste à considérer les droites à l'exclusion des nombres abstraits. Aussi admettrons-nous constamment que le rapport t» pris comme facteur, est donné par les deux droites a et b,

17. Les relations qui existent entre les côtés de deux triangles semblables offrent en général le moyen le plus commode pour effectuer graphiquement la multiplication d'une droite / par un

rapport t» c'est-à-dire pour obtenir une nouvelle droite x = lj'

La disposition des trois droites /, a, b, dans la figure devra évidemment être telle que les deux premières, l et a, à multiplier l'une par l'autre, n'appartiennent pas à un même triangle, et (|u*elles ne forment pas non plus des côtés homologues dans les deux triangles à construire.

Si la figure ne suggère pas de disposition plus convenable, on formera les deux triangles semblables ^.

en coupant un même angle par deux y<^lf

transversales parallèles. Telle est la disposition de Idi Jig. lOai dans la- (luelle les longueurs b eil sont comptées sur l'un des côtés de l'angle primitif et à partir de l'origine O. ^^ Dans ^^fig' 105, les longueurs comptées à partir de l'origine sont a et A, et les transversales parallèles

sont elles-mêmes dans le rapport t •

Nous aurons occasion d'exposer incidemment, dans la suite, diverses autres constructions particulières du même produit. Nous nous bornons, quant à présent, à ce qui précède, afin d'éviter d'inutiles répétitions.

-^'If

18. L'application d'un procédé analo^e à celai que nous venons éU: fuirre permet de molliplier* sans plus de difficulté. ploÂeors

sesments d'une même <lroite /

par le rapport ^« La droite résultante X et la droite donnée fourniront en effet deux ponctuelles projectives semblables (G. 57 ) , et Ton pourra faire la constructioo de deux manières différentes :

Si Ton considère les deux ponctuelles x et / (Jig^ n) comme

sections d*un faisceau ayant son centre à rinfiniy a et 6 seront des segments coirespondants des deux ponctuelles ;

Si Ton place le centre du faisceau à distance finie {Jig- ta), les droites x et / étant parallèles, a et 6 seront les parties d'un rayon projetant comprises entre le centre du faisceau et les lieux des ponctuelles.

fie- ('

W, La parabole offre encore un moyen pour déterminer x = / t •

Fiff. 13. Cette application repose sur ce

que, la parabole étant engendrée par deux ponctuelles projectives semblables, deux de ses tangentes sont divisées par toutes les autres en segments proportionnels (G. 139).

Considérons en effet {Jig' i3)

deux tangentes à une parabole,

»*i v'V A^i uui *<* coupent en un point C, et une troisième droite AB,

KUv viwv^ <•« »**'^ pnijetéc par AB sur i| dans le rapport alb. La

•KU>à)t^vvK^ «vvrt thUorininée si Ton prend les extrémités A et B de

VJti « ssiMUàV" luùuU il« ronlact des tangentes ai et i|. Dès lors, le

A>%K\ V,A\ N|và joiul lo point C au milieu D de AB, est parallèle à

^vv v ïik's^^^^^^^^^ *^^ **' Irouve coupé par la courbe en son point

MULTIPLICATION DBS DHOITES PAU DBS BAPPOKTS. I7

milieu E. La tangente au point E est d'ailleurs parallèle à A£ {G. 138).

On voit aisément que la parabole ainsi construite peut servir à la multiplication d'une droite