MULTIPLICATION DES DROITES PAR DES RAPPORTS? JQ
a = «1 — bj et par suite
A la longueur ~ /, déterminée comme il a été indiqué plus haut,
on ajoute A* fois la longueur /. On obtient ainsi la longueur cherchée X\ .
Cette opération est effectuée [Jig- i5) pour A = i, auquel cas
22. Déterminer les produits l\ -t^^ h-r^ h-r^" * ^^ '^"'' somme
' bi e»j ^3
ai bi bj
de telle sorte que les multiplications et l'addition soient effectuées en ayant égard aux signes des grandeurs données et que le ré~ sultat final puisse être mesuré sur une ligne droite.
Ce problème fournit un cas intéressant d'application et de vérification de la règle des signes.
Nous supposons, pour plus de simplicité, l'opération limitée aux trois termes indiqués plus haut. La construction {fig» i6) comporte deux figures distinctes, Tune contenant les grandeurs b et /, l'autre les grandeurs a et le résultat cherché.
On trace sur la première figure deux axes, BB et LL, qui se coupent au point 0| sous un angle quelconque, et sur la seconde figure deux autres axes, AA et XX, respectivement parallèles à ceux de la première. On porte les valeurs de b sur BB à partir de l'origine 0| et en ayant égard aux signes, c'est-à-dire en plaçant les grandeurs positives à gauche, par exemple, et les grandeurs négatives à droite. On porte de la même manière les valeurs de a sur AA à partir de l'origine Oj. Dans le cas de la figure, ai, a^, b iCt b^ sont positifs, a^ et b^ sont négatifs.
On porte enfin les longueurs / sur l'axe LL , non plus à partir d'une origine commune, mais bout à bout , en prenant pour point de départ un point quelconque i de LL cl en tenant compte des
CALCCL CaAPBlQUE. — CHÀFmB t.
j»igncs. Toute longueur / aura donc son origine à l*exlrémiié de la longueur précédente et se dirigera vers la partie inférieure de Taxe ou vers la partie supérieure , selon qu'elle sera positive ou négative. Nous convenons d'appeler 2/ la portion de droite qu'on obtient en faisant ainsi la somme algébrique des longueurs / proposées. Dans le cas de la figure, /| et 1% sont positifs, l^ est négatif. L'origine et l'cxtrémiléde chaque longueur / portent d'ailleurs, adroite ou à gauche de l'axe LL, l'indice de la longueur considérée ; d'où il
Fig. i6.
r~-V,tti
Oi
suit que l'origine et l'extrémité de la somme 2/ sont respectivement indiquées par les indices de la première et de la dernière grandeur /, et que tout point intermédiaire porte les indices des deux segments auxquels il appartient.
Pour compléter le canevas nécessaire à la construction, on mène par les extrémités des divers segments a et 6 des parallèles aux axes XX et LL.
Cela fait| on projette, dans la première figure, les extrémités de la droite /«, & partir du point i|, au moyen des rayons £{ i et &i (i>a). Du point a^ dans la seconde figure, on mène parallèlement à CCS rayons deux autres rayons qui coupent l'axe XX en deux points désignés par les mêmes indices que les points correspondants de l'axe LL, savoir : Je point i , dont le rayon de projection est parallèle à iii, cl le point (i, a), dont le rayon est parallèle à i|(i,a). On a soin de prolonger ces rayons, en vue des donstructions ultérieures. On désigne parx, la portion de l'axe XX
