MULTIPLICATION DES DROITES PAR DES RAPPORTS

comprise entre les deux rayons qui partent du point Oi; Xt correspond à la portion /| de Taxe LL.

Cette construction fournit deux triangles semblableS, dans lesquels deux droites homologues, telles que les parallèles 0| i| = i| et Oo^i = ai , sont entre elles dans le même rapport que les côtés. On a donc

d'où

Xi , premier terme de la somme cherchée, apparaît comme positif, puisqu^il est porté dans la même direction que /| ; il n'en pouvait être autrement, à raison des signes de ses trois facteurs.

Pour construire le second produit /a t^j on détermine d'abord

les points d'intersection b'^ et a, des rayons i| (i, 2) et a^ (1, a), respectivement avec les droites bib'^ et 02 a^ parallèles aux axes LL et XX, et l'on mène le rayon i'j^(2,3). La droite /a se trouve ainsi projetée du point b'^ par ce nouveau rayon et par i^ (i , 2) ou b'^bt . Pour déterminer sur XX le segment qui correspond à/o, on a déjà la droite a'j (1,2), partie de ai (1, 2), et l'on mène a'^ (2,3) parallèle à i'j, (2, 3). On obtient ainsi les triangles semblables i'^ (i> 2) (2,3) et a'j (1,2) (2,3). On mène parallèlement à AA les droites homologues AjM = ^2 et a'jMi = a2; on représente par Xj la portion de XX limitée par les points (1,2) et (2,3), et l'on a

ai

L'extrémité de x^ étant en même temps l'origine de Xi, on a immédiatement X2 à la suite de Xt et dans la direction inférieure de l'axe, c'est-à-dire dans la direction positive que comportent les signes de ses trois facteurs.

La construction du troisième terme nécessite d'abord la détermination des points d'intersection, b'^ et a,, des rayons déjà tracés b'^ (2,3), a2(2,3) et des parallèles à l'axe LL passant par b^ et par as. Pour projeter le segment l^ à partir du premier point b'^ et

aa CALCUL GRAPHIQUE. — CIIAPITRB I.

pour trouver ensuite le segment correspondant X3 sur XX, il suffît de tracer V^ 3 et de mener d^ 3 parallèle à cette dernière droite. Dans le troisième couple de triangles semblables ainsi obtenus, les droites ijP et aaPi, menées parallèlement à BB et à AA jusqu'à leurs rencontres respectives avec XX et LL, représentent b^ et «j, et Ton a

D'après l'hypothèse adoptée, le segment Xj doit être négatif; il est porté, en effet, dans la direction supérieure de l'axe, c'est-àdire dans la direction négative, et, de même que les longueurs /sur Taxe LL, les segments x sont additionnés sur l'axe XX en ayant égard à leurs signes. Le segment de ce dernier axe compris entre l'origine i et l'extrémité 3 représente donc bien la somme algébrique cherchée.

On obtiendrait d'une manière analogue la somme

VIL — Polygone de multiplication.

23. Considérons maintenant le cas où, dans le problème précédent, les dénominateurs £|, b^jb^^ . . . sont égaux. Ce cas peut s'énoncer ainsi :

Réduire à la base constante b une somme de produits donnés

Voici l'une des solutions que comporte le problème ainsi posé.

On porte, en ayant égard aux signes, les segments ^i , ao, . . . , a,, sur un axe aa {Jig* 17) de part et d'autre d'une commune origine O. Sur un second axe //, non parallèle à aa, on porte les segments /i, /o,. . . , Ift bouta bout, en ayant aussi égard à leurs sens. Le segment compris entre l'origine de /| et l'extrémité de /„ est alors égal à 2/. On projette la ponctuelle / ainsi obtenue d'un point Oo dont la distance à la droite /, mesurée parallèlement à l'axe aa^ doit être égale à b. On projette ensuite la première ponctuelle ob-