APPLICATION DU PLANIIIETRE A LA MESURE DES AIRES
lement du disque est proportionnel à la diflerence des aires (4-1) et ( — i) ou à la différence des aires circonscrites respectivement par la courbe en forme de cœur et par le cercle.
U. — Application du planimètre à la mesure des aires.
272. Dans le planimètre pratique, tel qu^Amsler l'a disposé, l'axe BA = a {fig» 191) est muni à son extrémité A d'une pointe
Fig. 191.
traçante que l'on assujettit à décrire le périmètre des figures. L'extrémité B est assemblée à charnière avec une tige OB =: r, mobile autour du point O qu'une seconde pointe permet de fixer sur le plan dans une position quelconque. Le disque est monté sur le prolongement de la tige AB, à la distance c du milieu de AB. II transmet ses mouvements à un compteur sur lequel on peut lire à chaque instant la différence, positive ou négative, entre le nombre de rotations effectuées dans chacun des deux sens. Le point O étant fixe, l'extrémité B de l'axe se déplacera sur une circonférence de rayon /• pendant que l'extrémité A décrira le périmètre de l'aire à calculer et la différence des aires (-hi) et ( — i) sera (26S)
Fig. 192.
car c est ici négatif.
Si, après avoir fait parcourir à l'extrémité A le contour entier de l'aire F à mesurer {fig> 192), on ramène les extrémités A et B à leurs positions primitives, elles auront décrit respectivement des
contours fermés dont l'un, celui du point B, a pour coefficient o, puisque B a parcouru deux fois et en sens opposés un arc circulaire de rayon r. L'angle <//, décrit par l'axe, est d'ailleurs luimême égal à zéro ; d'où il suit que l'aire décrite par la pointe A est égale à al.
Le planimètrc est, sous cette forme, un instrument propre à réduire les aires à une base constante a,
273. Nous avons supposé que le centre fixe O restait extérieur à la figure F. S'il était intérieur {Jig, 190), on aurait (|/ = 2 7r. Par suite, A désignant toujours l'aire totale dont l'extrémité A décrit
le contour, Taire décrite par l'axe serait
Fig. 193.
d'où
A rrr «/ -f- TT ( r* -f- 7.ac),
Supposons l'axe AB dans une position telle que la droite OC, passant par le centre fixe O et par le centre du disque, soit perpendiculaire à AB ( fig. 1 9^).
Si nous désignons alors la distance OA par r,, nous aurons
el
d'où donc
r\ = AC* -f OC*
OC* = ou' — BC';
A = ni ->r Trr?.
Si l'on décrivait avec la pointe A un cercle de rayon r<, il est évident que le disque ne tournerait pas. On aurait, dans ce cas,
/= o el A = 71/ ^.
274. Le planimclre polaire permet d'atteindre, dans la mesure des aires planes, une approximation qui excède presque toujours celle dont on a besoin dans la pratique. Un opérateur habile à manier cet instrument dépasse, dans la détermination des aires à contours irréguliers, le degré d'exactitude auquel conduisent la
