I. — Préliminaires et définitions
279. Si Ton porte en abscisses et en ordonnées, relativement à deux axes que nous supposons rectangulaires, des séries de grandeurs linéaires respectivement proportionnelles aux couples de valeurs correspondantes de j: et de ^ dans la fonction j z=:f[x]^ on obtient une courbe plane c qui est la représentation graphique de la fonction proposée (96).
L'intégrale X\= \f[^] dx de cette fonction est une nouvelle relation
entre deux variables, qu'on peut représenter, en adoptant les mêmes échelles de coordonnées, par une seconde courbe c^ rapportée aux mêmes axes.
Le problème de l'intégration graphique consiste à construire la courbe intégrale c^ quand on connaît la courbe primitive c.
La courbe intégrale obtenue par une première construction peut d'ailleurs être prise à son tour comme courbe primitive d*une intégration graphique donnant pour résultat une nouvelle courbe c^, intégrale seconde de c; et ainsi de suite.
280. L'intégrale définie I f[x)dx j>eut toujours être considérée comme exprimant l'aire du trapèze mixtiligne délimité par l'axe des ab-
(') Voir J. Massac, Mémoire sur l'intégration graphique et ses applications j déve' ioppement des thèses présentées au concours universitaire de 1873-187.'!. Extrait des Annales de l'Association des Ingénieurs sortis des écoles spéciales de Gand, Livres 1 et II, Bruxelles, 1878, et Livre 111, Liège, 1884. — Charles Saviotti, Note sur les méthodes graphiques d'intégration, dans la Bévue universelle des Mines, etc., t. XIII, 3* bcri'i, i883, p. 4^^* ^^^ première publication do cette Note a été faite dans le Giornale del Genio civile, X.X* année, u** 3, Rome, mars 1882, p. 172-193.
363 CALCUL GRAPHIQUE. — APPENDICE DU TRADUCTEUR AU CHAPITRE Vil.
scisses, par les ordonnées aux distances .ro, -^i de Porigine et par la courbe dont l'ordonnée, correspondant à l*abscisse variable x, est égale k/[x]. En d'autres termes, Taire engendrée par les ordonnées de la courbe primitive c est donnée par la courbe intégrale première e,. On donne à cette aire le nom de diagramme,
\! ordonnée moyenne du diagramme est la hauteur du rectangle équivalent qui a la même base Xx — -fo»
On nomme élément du diagramme tout trapèze partiel compris entre la courbe r, Taxe des abscisses et deux ord(mnées assez rapprochées pour que l'arc de courbe qu'elles interceptent puisse être considéré comme se confondant sensiblement avec sa corde.
On peut dès lors, sans erreur sensible, prendre comme ordonnée moyenne d'un élément la moyenne de ses ordonnées extrêmes.
\J intégrale graphique iïuii diagramme ^indépendamment de la constante arbitraire) est la mesure de ce diagramme, rapportée à une base de réduction donnée b (87).
La différentielle graphique d'un diagramme est la mesure d'un élément, rapportée à la base h.
L'intégrale graphique d'un diagramme est égale à la somme de ses différentielles graphiques.
U. — Ponctuelle intégrale.
281. Soit OABC [fig. 195) un diagramme divisé en éléments à bases très petites, A.r, par les ordonnées menées aux points i, 2, 3, . . . de l'axe des abscisses. Projetons l'une de ces bases, 34, d'un point P situé à la distance b de OX et, par un point 4', pris arbitrairement sur la parallèle 4V à OX, passant par l'extrémité de Y ordonnée moyenne de l'élément considéré, menons aux rayons projetants P3, P4 les parallèles 4' G, 4' H qui détachent sur Taxe des x un petit segment GH =- Az. On a, par les triangles semblables P34, 4 GH,
j. Ax = 6. A3,
A3 étant, d'après une précédente définition, la différentielle graphique du diagramme, rapportée à la base b.
On a, par suite,
ly A.vz= b .Hz.
On obtient 2 A3, intégrale graphique approchée du diagramme, par une construction analogue à celle du n" 23. On projette du centre P la ponctuelle i 23 ... C; on projette parallèlement à OX, sur l'axe OY ou
POLTGO^E l!(SCBIT A LA COL'ME INTÉGRALE. 3fiij
sur une parallèle à cet axe, les eitrémilés i, 2, 3, ... des ordonnées ■Doyennes des éUnieait et l'on conslruil le polygone de multiplication QM, relatif au (bisceau P. Les couples de cdtés coniécutirs de ce polyjjone inierceptent sur OX la suite ininterrompue des dirférentielles graphiques du diagramme. Les cdtés extrêmes QN, 6M détacheot conséquemmenl, sur
fiz. 195-
rase des abscisses, un segment HK = Z iî qui est l'iniégrale graphique du diagramme, rapportée ù la base ù.
Ces côtés extrêmes se coupent en «n point K dont la disunce EK à l'axe des abscisses représente l'ordonnée moyenne j-„ du diagramme. On a, en eflet, par les Irianjjles semblables HK.N, OPC :
EK.OC = i.M», d'où
370 CALCUL GRAPHIQUE. ^ APPENDICE Du ..
m. -:- Polygone inscrit à la conrbe intégrale.
282. La c onstruclion précédente a donné la fonction intégrale sous la forme d'une ponctuelle MN. On peut aussi l'obtenir sous la forme d*un nouveau diagramme, par un mode de construction déjà indiqué et appliqué (94 et 250 à -257).
On projette sur l'axe des y^ parallèlement à celui des x, les extrémités des ordonnées moyennes des éléments. On projette ensuite la ponctuelle ainsi obtenue du centre Pj, situé sur Taxe des x, à la distance b de Taxe des y. On trace enQn, entre les couples d'ordonnées consécutives des éléments, la ligne polygonale OR, relative au faisceau P^. Une ordonnée quelconque de cette ligne est la mesure, rapportée à la base hy c'est-à-dire l'intégrale graphique, de la partie du diagramme donné comprise entre l'origine et l'ordonnée que Ton considère. En particulier, la dernière ordonnée CR est l'intégrale du diagramme OABC.
Si Ton considère, en e0et, d'une part l'un quelconque, Pi04y des triangles formés par les deux axes et par un rayon du faisceau P|, d'autre part le triangle, semblable au précédent, formé par le côté de OR parallèle à Pi49 par Tordonnée 4 ^^ P^r l^* parallèle à OX menée à l'extrémité de l'ordonnée 3 de OR, on a, en désignant par^^. l'ordonnée moyenne de l'élément dont ce dernier tiiangle fiiit partie,
( I ) J, Ax =: ^ A3,
La différence Az entre les ordonnées extrêmes de l'élément considéré est donc la mesure de cet élément rapportce à la base h^ c'est-à-dire (280) la différentielle du diagramme donné, et l'intégrale de ce diagramme est
ZAz=iCR.
La ligne OR, lieu des extrémités des ordonnées intrgrales, et l'aire ORC, lieu de ces ordonnées, sont res| eclivement la ligne intégrale et le diagramme intégral du diagramme OABC.
L'ordonnée moyenne ^>„t du diagramme primitif est limitée à la parallèle à Taxe des x qui passe par le point d'intersection de Taxe des y et du rayon de Pf parallèle à la droite OR. On a, en effet, par les triangles semblables,
OF.OCrrr^.CR,
d'où
Cette construction et celle du n^ 281 doivent nécessairement conduireau même résultat quand on adopte la même base h. On vérifie, en effet, que les segments Pi M etCR sont égaux, et, plus généralement, que la ponctuelle
POLYGONE CIRCONSCRIT A LA COURBB INTEGRALE. 3;!
dëterminée sur OX par les côtés de la ligne polygonale QM est égale à la ponctuelle déterminée parla projection sur CR des ordonnées du diagramme intégrai.
On déduira donc la ligne OR de la ponctuelle intégrale NM, fournie par la construction du n" 281, en portant sur les ordonnées o, i, a, 3, . . . , C les intégrales partielles correspondantes représentées par les segments compris entre l'origine commune N et les points de division successifs de la ponctuelle NM.
