Soit

x'"y'*dxdf

ff^

une intégrale double prise à l'intérieur d'un contour fermé quelconque, les exposants m, n étant supposés entiers et positifs. Si Ton fait porter l.i première intégration sur j'* dy^ entre les valeurs limites ^o ^t Xi que prend, sur le contour considéré, l'ordonnée y pour la valeur x de l'abscisse, on a

Ix'^dxÇ y^dx^ \ x"'dx[^

Quel que soit le nombre des intersections du contour avec la parallèle à Taxe des y menée à la distance x de l'origine, l'intégrale est égale à

x"" dx.

la somme étant prise le long du ccmtour fermé, à partir de l'un quelconque-

axes; — sur les niudificatious de la base d'intégration; — sur le déplacement du centre de projection ; — sur la détermination des constantes d'intégration ; — sur la construction des paraboles et des hyperboles de divers ordres, données, non plus par leurs équations, mais par un nombre suffisant de points et de tangentes; — sur la construction des courbes unicursales; — sur la détermination des racines des équations; — sur la représentation graphique des cubes de terrassements; — sur un nouveau principe de représentation des fonctions par l'emploi d'un système général de coordonnées; sur l'application de ce principe à la construction d'un grand nombre de systèmes de Tableaux graphiques qui comprennent, en particulier, l'élégante et in(;énieuse solution de M. Lalanne ( 191-194); — sur l'élimination graphique; — sur la représentation des fonctions à trois variables w — f{^t^ u, v) aboutissant à l'abaque de M. Lala^inc {/îg. ii5), dans lequel les droites enveloppées doivent, en ce cas, être considérées comme les traces des plans dVgale cote; — sur la construction et l'adaptation de quatre Tableaux représentant respectivement les fonctions /, (jc, j, t) = o, /,(^, z, C) = o, /j(/', M, r" — o, /,(^*, t*» "') — o, et permettant de déterminer successivement les variables r, t\ t", w (jjand on donne x, r, z, m, v, c'est-à-dire de calculer w en fonction de cinq variables indépendantes; — sur la construction des systèmes de droites; — enfin, sur le problème du mouvement des terres considéré à un point de vue très général.

(') Voir Ed. Collicmon, Complément du Cours d^JnaljsCf etc. (Paris, 1879, p. i-^ et suiv. ), et Traité de Mécanique, 2* Partie, Statique {-2* édit., Paris, 1881, p. 3i5). Voir plus spécialement, du même auteur, Méthode géométrique d'évaluation de certaines intégrales doubles, dans le Compte rendu de la troisième session de l'Association française jour ravancement des Sciences, Congrès de Lille, 1874» et Note sur lacubu" lure des solides de révolution, dans le même Recueil, Congrès d'Alger, 1881.

I>'TÉGillTIO>' GRAPIllQt'R PAR ANAItORPHOSE. 3^9

de ses |H)ints, aufjuet on doit revenir api'ès avoir décrit, dans l'un ou dans l'autre sens, tout le jiérimètre de la Ggure.

Une double série d'opérations graphiques permet de ramener la furmatlon

de l'intéjjrale / j-"*' j'" dx à l'évaluation d'une aire plane.

309. Soit HSSS' [fig. 101 ) le contour directeur fermé (jui définit les valeurs correspondantes de x et de y. Pi'enons sur l'axe des / une longueur arbitraire OR = a et menons à l'axe des x la parallèle I\T qui ren-

contre nu jioint T l'ordonnée d'un point quelconque S du cnntuur. Joignons TO et menons par le point S, pnrallèlement i cette droite, le rayon SAi qui rencontre l'axe OX en A,. Joignons TAj et menons le rayon SA,, parallèle à TA,, qui rencontre OX en A,. Supposons que la même construction, répétée n ■+■ t fois, conduise ù déterminer finalement le point A„*| sur OX et prenons, sur l'ordonnée du point S, PS, = PA„^., =j-,. Le point S, est le point transfiirmé de S et, en répétant un nombre convenable de fois la même série d'opérations, nous obtenons la courbe M,S,r<|S',, transformée de MSNS' .

Les faisceaux directement égausT(0 A, A,. . . A„) etS(AiA,A, . . . A„+i]. dont les rayons correspondants se coupent sur la droite à l'inCnî du plan,

sont perspectifs, et les ponctuelles projectives (G. k2) qu'ils déterminent sur OX sont semblables, car elles ont comme éléments unis leur point P d'intersection avec TS et leur point à Tinfini (G. 57). On a dès lors, par l'égalité entre les rapports an barmoniques (G. 50) des segments limités aux points unis et à deux autres autres couples quelconques de points correspondants :

d*où

PA, PA, PO PAi

PA;,^-, sp ,r

PA„ TP a '

PA„^i

nii

Ti y""'

j.yn-hX -- y^f^n-^X

et, par suite, en prenant M j Si Nj S', pour nouveau contour directeur,

/l-r- ij - n-r- ij -"'

On est ainsi conduit à remplacer Texpression pro|)osée par une autre plus simple, puisque l'exposant de l'ordonnée s'y trouve réduit à l'unité,

31 0. Une réduction analogue doit être opérée sur Texposant /// — i de x. On prolonge à cet effet [fig, 2o3) Tabscisse QSj du point Sj de la pre-

Fig. 2o3.

,m*tA -

raière transformée jusqu'à sa rencontre en U, avec une parallèle VU, à C menée à la distance arbitraire OV r- ^. On mène OU, qui cou|)e SjP en On mène C, U, parallèle à OX et Ton joint OU,. On rci>ète la construC m — I fois et l'on détermine ainsi le point C^,,. ,.

Les faisceaux oo (S,Cj C, . . . C,„-,) et 0(CiC,C, . . . C;„,) qui se < pcnt sur U, V, sont perspectifs, et les ponctuelles projectives qu'ils d

INTÉGRATION GRAPHIQUE PAR ANAMORPHOSE. Sqi

sninent sur S|P soat semblables, car elles ont comme éléments unis leur ipoint P d'intersection avec oo O et leur point à l'infini, détermine par l'intersection de l'axe OY, rayon du faisceau parallèle à S|P, et de la droite 'â l'infini du plan, rayon correspondant du faisceau oo . On a donc

PCj ^ PC, ^ ^ P^m-i ^ f PSj PC; '" PC^, b' <JV)Û

PC^t^x^"-^