VIII. — Multiplication des rapports
24. Les triangles semblables, qui nous ont permis d'effectuer la multiplication d'une droite par un rapport, se prêtent aussi à la détermination du produit de deux ou plusieurs rapports.
S'il s'agit, par exemple, de former le produit de deux rapports
MULTIPLICATION DBS RAPPOETS.
nS
donnés, T'^^t-j on porte, à partir d'une origine quelconque O
Fig. 19.
[fie* '9)> l^s dénominateurs £i , ^2 en abscisses ; aux extrémités de ces abscisses, on porte les numérateurs «i, «2 en ordonnées. On joint l'origine aux extrémités de a^ et de aa par les droites L| et L^ ; on élève ensuite à l'extrémité d'une abscisse quelconque Oxi l'ordonnée j^i, que l'on prolonge jusqu'à sa rencontre avec L| ; on prend la longueur de cette ordonnée y i comme seconde abscisse Oxa et l'on élève à l'extrémité de x^ l'ordonnée r2» que l'on prolonge jusqu'à sa rencontre avec la droite L2. On a ainsi construit deux couplés de triangles semblables, Oa^h^ et Oj'|X|, Oa2^2 et Oj^2'^27 qui donnent les proportions
multipliant membre à membre et considérant que, d'après la construction, X2 = j^« , on a
'Il ^ = ^.
bi b^ ^1
25. On obtient d'une manière analogue le produit d'un nombre quelconque de rapports
«I «1 ^3 bi b^ b^
Et
On commence par tracer à cet effet, comme dans le cas précédent, les droites L| , L^, L3, . . . , L;, qui correspondent aux rapports donnés. On choisit une abscisse initiale quelconque x^ ; on détermine l'ordonnée correspondante y^ relative à L|, on prend une nouvelle abscisse x^ égale à j^i et l'on détermine l'ordonnée correspondante j^2 relative à Lo ; on prend ensuite X:^ =^2» et l'on construit l'ordonnée correspondante j^ relative à Ls ; et ainsi de
26 CALCUL GRAPHIQUE. — CHAPITEB I.
suite, jusqu'à la droite L^, qui aura pour correspondante la dernière ordonnée jn*
On a ainsi les équations
ri
Jt
Xn
fi.
en faisant les produits et en réduisant, on a
^1 ffi ^l ^n Xn
d'où résulte ce théorème :
Le produit d'une suite de rapports est représenté par le rapport entre la dernière ordonnée et l'abscisse initiale.
Quand la première abscisse est égale à l'unité [fig^ 20), le produit des rapports est égal à j „.
Fig. ao.
'-Vv,
Si, en effectuant les produits, on voulait tenir compte du signe de chaque facteur, il faudrait ajouter à l'énoncé du théorème que le
