X. — Division

28. Nous avons dit que la multiplication graphique peut être considérée comme une addition multiple. On peut dire pareillement que la division est une soustraction à indice multiple. A ce point de vue, la division se présente sous deux formes distinctes. On

3o CALCUL GRAPHIQUE. — CHAPITRE I.

peut se proposer, en effet, soit de chercher combien de fois une grandeur linéaire est contenue dans une autre, soit de partager une ligne en un certain nombre de parties égales.

Dans le premier cas, les deux termes sont donnés et l'on cherche rindice ; Topération se réduit alors au problème bien connu qui consiste à mesurer une droite au moyen d'une autre droite.

Dans le second cas, au contraire, Tindice et le terme total étant donnés, il s'agit de déterminer le terme à soustraire.

L'opération du second cas, c'est-à-dire la division d'une droite a en

n parties égales, équivaut à la multiplication de a par un rapport 79

dans lequel c est un segment arbitraire et b un segment égal à /ifois c. On sait, du reste, que cette opération peut être facilement effectuée en projetant sur la grandeur donnée les n divisions égales obtenues, sur une droite auxiliaire, par l'addition multiple d'une unité arbitraire. Cette droite auxiliaire doit être parallèle à la droite donnée ou passer par son origine. Dans le premier cas, on doit mener par chaque division intermédiaire de la droite auxiliaire une parallèle à la transversale qui passe par les extrémités de la droite auxiliaire et de la droite donnée. Dans le second cas, la projection de la droite auxiliaire sur la droite donnée s'effectue à partir du point d'intersection des deux côtés obliques du trapèze déterminé par les extrémités des deux parallèles à projeter, et ces parallèles sont les seules dont la construction nécessite le tracé.

On peut encore parvenir au résultat, sans avoir recours à aucun tracé de parallèles, en se fondant sur une propriété connue de la parabole. On sait en effet (G. 99) que, si l'on divise une tangente quelconque à la parabole en n parties égales, à partir du point de contact, chacune des n tangentes menées à la courbe par les points Je division est elle-même divisée en parties égales par toutes les autres. On sait de plus que toute autre tangente à la parabole est aussi divisée en parties égales par les précédentes, avec cette seule différence que le point de contact de la nouvelle tangente n'est plus un point d'égale division.

29. Quand on a à diviser une droite / par un rapport j^ on écrit

et Ton en déduit