APPLICATIONS DE M SPIRALE

cordes sous-tendant un même nombre de triangles élémentaires consécutifs sont vues du centre O sous des angles égaux , que tous les triangles ayant le point O pour sommet et ces cordes pour bases sont semblables, et que les rayons vecteurs se succédant à intervalles angulaires égaux forment une progression géométrique, c'est-à-dire que les côtés d'un angle constant sont entre eux dans un rapport constant. Dès lors, si l'on mène les rayons vecteurs respectivement égaux à deux longueurs données / et / ( - j 9 et

Ton divise l'angle compris entre ces rayons en n parties égales, les rayons vecteurs qui limitent l'une des /i**"" parties de cet angle

sont entre eux dans le rapport yi qui est la racine /i'*"' du rapport

des deux longueurs proposées (39).

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de calculer la quantité

X = '^abc . Le problème revient à déterminer le côté x du cube ayant même volume que le parallélépipède dont les trois hauteurs sont a, by c. Posons

Fig. 33.

/représentant le rayon de l'origine pris pour unité. Déterminons les rayons qui correspondent aux longueurs a, &, c,

et faisons la somme des trois

x^ /\ /^ angles al y blj cl, en ayant

égard à leurs sens. La quantité x cherchée est représentée par le rayon qui forme avec / un angle égal au tiers (le cette somme.

La construction se simplifie quand on prend pour valeur de / l'une des trois hauteurs données. On a, dans ce cas,

.rr 3 /« c

Supposons c ^ A ]> a, et soient OA, OB, OC {Jig» 33 ) les rayons vecteurs de la spirale dont les longueurs sont respectivement a,

bj c. Les rapports t> 7 seront déterminés par les angles AOB,

60c, et le rapport ^ : - = — par la différence AOB — bOC, soit,

en faisant DOC = AOB , par Tangle DOB . Si donc on forme

l'angle XOB = i 6ob; on aura OX = x.

On voit que les angles de la spirale équiangle ou logarithmique remplissent dans le calcul graphique le même oilGce que les logarithmes dans le calcul ordinaire.

On ajoute les angles ou on les retranche, selon qu'il s'agit de multiplier ou de diviser les rapports de leurs côtés. On multiplie un angle par n ou on le divise en n parties égales selon qu'on veut avoir la /i'*°® puissance ou la racine /i'*"" du rapport de ses côtés.