IV. — Théorie et usage de la règle

63. Nous supposerons d'abord le tiroir en position directe et ouvert dans une mesure quelconque. Soient alors a, &, ... les nombres qui marquent une suite de divisions sur l'échelle supérieure de la règle et ^i, &|, ... les nombres qui marquent les divisions en regard sur l'échelle du tiroir. Les deux échelles sont dans la

Si CALCUL GRAPHIQUE. — CHAPITBE III.

position indiquée par Ia Jig. 43, et Ton a (59)

\ogb = logtf — logrtj -+- l<)g/-»i, d'où

La diflférence entre les logarithmes de deux nombres en regard reste constante, et, par suite, le rapport de ces nombres reste constant quand on maintient invariable la position relative des deux échelles. On lit donc immédiatement sur Téchelle supérieure le

produit b de — par un nombre quelconque &|. Sachant d'ailleurs

que o est le logarithme de i, on pourra poser «i = i ou i| = i et

obtenir le produit b = abi ou le quotient b =

Soit, par exemple, à déterminer i = |3. On fera coïncider la division 4 du tiroir avec la division 6 de Téchelle supérieure. Deux nombres quelconques, placés en regard sur les deux échelles, seront alors dans le rapport j = i , 5 , et, en particulier, le nombre marquant la division de l'échelle supérieure qui coïncide avec la division 3 du tiroir sera le produit cherché A = 4>5o. De même, les produits de i , 5o par 8, par 9, etc., se liront sur l'échelle supérieun' en regard des divisions marquées 8, 9, . . . sur le tiroir. Les divisions des deux échelles coïncideront deux à deux dans Tordre suivant :

Échelle supérieure. .. . i i,f)o 4'^*^^ ^ ^^ '^ i3,5o Tiroir 1 3 4 ^ 9

64. Supposons maintenant que le tiroir soit en position inverse. L'échelle supérieure et l'échelle du tiroir sont alors graduées en sens opposés, ce qui est le cas précédemment considéré de la fig^ 44 > et nous avons (60)

log/; =:i loga H- loga, — log^t, d'où

La somme des logarithmes de deux nombres en regard reste con-

THÉOAIK ET CSJIGB DE L\ HÉlGLE. f.^

stante et par conséquent le produit de ces nombres reste constant, si Ton maintient le tiroir fixe dans sa position. On lit donc immt^ diatement surréchelle supérieure le quotient de aa^ |>ar un nomkn^ quelconque &i, et, selon que Ton fait 6| ou a^ égal à Tunité, on

détermine A = aa, ou A = — •

Soity par exemple* à calculer &=:| 3. On fera coïncider la di\ision 3 du tiroir avec la di\ision 9 de Téchelle supérieure* et on lir«i sur cette même échelle, en regard de la dixision 4 ^^^ tiroir* le résultat i=6, j5. Si Ton veut ensuite calculer A=r|3, on maintiendra le tiroir dans sa position et on lira le résultat i3»5o sur Féchelle supérieure, en regard de la division a du tiroir. Les deux échelles sont, dans ce cas, disposées de la manièi*e sui\anle :

Échelle su|)érieure i 6,75 9 10 i3«5o

Tiroir 4 ^ ^ *

(>D. Nous n'avons fait usage jusqu'ici que de réchelle supériouiv et du tiroir. Nous allons maintenant rétablir ce dernier dans lu position directe et faire intervenir réchelle inférieure, en convenant de désigner para^, b^^ ... les nombres qui marquent les divisions de celle échelle placées respectivement en regard des divisions a et /Zi, & et 6|, ... des deux échelles précédemment considérées.

L'échelle supérieure et celle du tiroir étant l'une et l'autre à réchelle inférieure dans le rapport de i à a, ce qui est le cas indiqu{* par la^^. 45, on a (61 )

ÎOgr/ — logfl, = 2l<>gr/j — logrt,r= log^ — l<»g^l = '^- l<>g^s — l*>g^l ^= •••

d'où

cl par suite

(Il "■ /;, ~" r/, "" 6| '

En faisant dans ces expressions Tune des trois. longueurs égale

à Tunité, ou deux longueurs simultanément égales à runlté, ou deux longueurs égales entre elles, on obtiendra des expressions nouvelles permettant d'effectuer, au moven delà règle à calcul, rélévation des nombres au carré et au cube, la division des nombres simples, des carrés et des cubes par des nombres simples et par des carrés, Textraction de la racine carrée des nombres simples et des nombres élevés au cube, et par conséquent la formation de la puissance |, la division des puissances par une racine carrée et la détermination des moyennes proportionnelles.

66. Les divisions des échelles correspondent, comme on Fa vu, aux mantisses des logarithmes, et sont indépendantes des caractéristiques, qu'il est dès lors nécessaire de calculer séparément. On fait ordinairement ce calcul de tétc.

Il arrive souvent que l'opération nécessite un ensemble d'additions et de soustractions de mantisses, conduisant à une somme algébrique plus grande que l'unité. L'extrémité de la mantisse linéaire qui correspond à cette somme tombe alors sur la seconde échelle supérieure, au delà de la division lo, et le logarithme du résultat cherché doit avoir à sa caractéristique une unité de plus que le nombre calculé d'après la seule considération des caractéristiques partielles. La caractéristique du résultat devrait être, au contraire, diminuée d'une unité, si l'expression numérique à calculer avait à son dénominateur un nombre assez élevé pour que l'extrémité de la dernière mantisse tombât en un point de la première échelle supi^rieure.

Soit, par exemple, à calculer i =^ j au moyen des échelles ainsi disposées :

Échelle supérieure i c) lo iS^^S

Tiroir i 4 7

La somme des caractéristiques est évidemment nulle dans ce cas; mais les mantisses linéaires qui entrent dans le calcul, et qui doivent être portées sur l'échelle supérieure, à partir de l'origine, aboutissent en un point de la seconde échelle et déterminent finalement une mantisse plus grande que l'unité. On ajoutera donc i à la caractéristique o et l'on composera de deux chiffres la partie