V. - Modifications apportées à la règle logarithmique

69. On trouve dans le commerce des règles de o",52, dans lesquelles certaines échelles s^écartent de la disposition que nous avons précédemment décrite. La face du tiroir, au lieu de présenter, sur chacun de ses bords, une reproduction de Téchelle supérieure de la règle, porte deux échelles différentes, respectivement pareilles aux échelles de la règle qui leur font vis-à-vis. Sur le revers du tiroir, Féchelle des parties égales est placée entre les deux autres, et la graduation de l'échelle des sinus est renversée par rapport à la graduation de Téchelle des tangentes.

Ces grandes règles sont toujours munies d'un indicateur. Elles comportent un plus grand nombre de divisions et permettent, dès lors, de calculer avec plus d'exactitude. Le degré d^approximation. en ce qui touche la multiplication, la division et les proportions, est notablement accru par l'adjonction sur la face du tiroir d'une échelle égale à l'échelle inférieure de la règle. On arrive en effel. j^ràce à celte modification, au même degré d'approximation qu'avec une règle du Ivpc ordinaire, mais dont la longueur serait qua- (Irupléc.

70. Une modification apportée à la règle logarithmique par \1. Mannhcim ( ' ) permet d'obtenir, non seulement pour la multiplication et pour la division, mais encore pour les proportions, les tarrés, les cubes, les racines carrées et cubiques, etc., des résultats «icux fois plus approchés qu'avec une règle ordinaire de même longueur. Dans la nouvelle règle, dite à échelles repliées, la règle [)ropremenl dite porte deux échelles égales, dont les divisions s'étendent de i à lo. La face du tiroir porte également deux échelles. L'inférieure est divisée en parties égales, de i à 5oo. La

(•) A'oir IIÂSKLER, Jmveisiing fiir die von M. Mannhehn lyerbesserten Rechenstàbe (sans date); A. iMANMiEisi, Kèfjile à calcul à échrllfs repliées; instruction abrégée (i85i)- I,c principe <io la règle à échcllos roplicos a élé appliqué sur une règle cylindrique donl le modèle est expo^c dans les galeries dii Conservatoire des Arts et Métiers. Ce modèle, de G",! 35 de longueur, permet d'obtenir le produit de deux nombres avec l'approximation que donnerait une ancienne règle ordinaire de a". {Xotice sur les travaux niathé' matiques de M. Mamnueim, etc., Paris, 1873, p. 33).

MODIFICATIONS APPORTÉES A LA RÈGLE LOGARITHMIQUE. gS

supérieure reproduit les divisions des échelles de la règle, à cellt* différence près que, au lieu de porter le nombre i à Torigine et Iv nombre lo à l'extrémité, elle porte le nombre i en son milieu. La disposition est celle qu'on obtiendrait en supprimant les deux quarts extrêmes d'une échelle double, étendue de i à loo, et en conservant la moitié intermédiaire, formée de deux parties symétriques par rapport à la division lo. Les points où l'échelle double

se trouverait ainsi coupée correspondent à yrio et à 10^/10, cai*

log ^Tô = - et logi o ^/To = I H — •

Les nombres doivent être lus sur la moitié du tiroir à droite ou sur la moitié à gauche, selon que leurs premiers chiffres significatifs sont inférieurs ou supérieurs aux premiers chiffres de ^Tô. Le revers du tiroir est disposé comme si une échelle simple, graduée de 1 à 10, mais deux fois plus longue que les précédentes, avait été divisée en deux parties égales, dont on aurait placé la première au bord supérieur du revers et la seconde au bord inféjieur (* ).

(') Nous empruntons à Tinstruction rédigée par M. Manuhcini quelques brèves indications sur l'emploi de cet instrument.

Afultiplication. — Amener le 1 milieu du tiroir en regard de l'un des nombres et lire le produit sur le tiroir en regard de l'autre nombre. Le 1 milieu étant amené sous 3. on trouve au-dessus de 3 le produit 6 = -i X 3. S'il s'agit de multiplier /| par 3, le 1 milieu amené sous ^ ne permet pas de lire le produit au-dessous de 3; on ramènt> alors au-dessous de 3, et le produit u est lu en regard du 4 du tiroir.

Division. — Amener le dividende lu sur le tiroir en regard du diviseur; lire le quotient en regard de l'un des i de la règle. Pour divii>er 9 par 2, on amène 9 sous 2, et U* quotient ^,5 est lu en regard du 1 gauche de la règle. Pour diviser 9 par /|, on amène 9 sous 4f et le quotient 2,!i5 est lu en regard du 1 droite de la règle.

Proportions, — Mettre en regard les termes du rapport connu et lire la valeur do l'inconnue en face du terme connu du second rapport. Les numérateurs doivent être lus sur la même ligne et les dénominateurs pareillement. Il est quelquefois nécessaire

de transformer la proportion donnée. Dans la proportion j = — 9 par exemple, on

ne peut pas lire x sur le tiroir après avoir lu s sur la règle. On place alors 1 du tiroir en regard de 4 de la règle, et l'on trouve sur la règle x = a4 en regard de is. On peut toujours donner à une proportion la forme qui permet d'obtenir lo résultat par un seul mouvement du tiroir.

Carrés et racines carrées. — Retourner le tiroir pour faire usage de l'échelle repliée. et faire coïncider les divisions 1 de cette échelle avec les divisions 1 de la règle. Los nombres lus sur la règle sont alors les carrés des nombres lus en regard sur le tiroir, elww 'versa.

Cubes et racines cubiques, — Renverser l'échella repliée. Pour déterminer le cube de

9( CALCUL GRAPIIIQl'R. — CHAPITRE III.

La régir est munie d\in curseur, dont on fait usage quand le résultat ne peut être fourni que par une suite d^opéralions.

La règle à échelles repliées permet d'obtenir, à dimensions égales, des résultats plus approchés. Ses inconvénients tiennent à Tabscnce des échelles trigonométriqucs et à la réduction du nombre des opérations qu'on peut mener à (in sans déplacer le tiroir.

71. M. L. Lalanne a fait construire des règles en carton, comprises entre deux lames de verre. I^ table supérieure contient quatre échelles, qui sont comme Téchelle des sinus, Féchelle des tangentes, Téchelle supérieure et l'échelle inférieure de la règle ordinaire, et qui se succèdent, de haut en bas, dans Tordre où nous venons de les énumérer. Deux coupures pratiquées dans le carton. Tune entre les deux premières échelles, Tautre entre les deux dernières, laissent voir, sur la face d'un tiroir glissant audessous du carton fixe, deux nouvelles échelles, qui ne diffèrent en rien de réchelle placée sur la face du tiroir dans la règle ordinaire. Les revers de la règle et du tiroir portent des échelles pareilles à Téchelle inférieure de la règle ordinaire.

La règle en carton est très utile, à raison surtout de ce qu'on peut faciliter un grand nombre de calculs pratiques en inscrivant divers facteurs constants sur ses échelles. Son principal inconvénient consiste dans la fragilité de l'enveloppe ( * ).

.\f par i>xcmp1c, amoiicr 3 du tiroir en regard do 3 do la règle ot lire le résultat }; sur la règle cti regard do i du tiroir. Inversement, pour déterminer la racine cubique de 37, amener i du tiroir en regard de ce nombre et chercher lea deux division! eu regard, réelles ou fictives, qui sont affectées du même nombre 3.

Logarithmffs, — Lire les nombres sur l'échelle repliée, retournée, mais non renversée, et les logarithmes au revers du tiroir, en regard du trait marqué dans nno encoche derrière la règle. 3 du tiroir étant amené au-dessous de 1 gauche de la règle, on lit derrière celle-ci log3 = o,3oi. Lorsque le nombre est lu sur le tiroir eu face du I de l'échello inférieure de la règle, on ajoute 3 au premier chiffre de la partie décimale du logarithme. Si l'on a amoné, par exemple, le 4 du tiroir en regard du 1 gauche de la règle, on lit o,ioa au revers, et Ton écrit log/| =0,609.

(') M. Lalamnf. a rapporté, dans une publication réconte, les circonstances qni Tout amené à adopter cette disposition : • L'usago de la règle ii calcul venait, dit-il, d'être introduit dans renseignement secondaire et figurait dans les programmes des connaissances exigées pour l'admission à l'École Polytechnique et à TÉcole militaire; mais les instruments de ce genre manquaient, et la plate-forme qu'un habile constructeur (M. Gravet, successeur de Lenoir) montait à grands frais exigeait encort; un long travail. C'est dans ces circonstances que la règle ii enveloppe de verre fut

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UNIVERSAL PROPORTION TABLE. qS