X. — Abaqne de M. L. Lalanne

77. {^abaque ou compteur universel de M. Lalanne est Table extrêmement ingénieuse, fondée sur le môme principe la règle logarithmi(|ue ('). Elle consiste (//g". 5o, Planche) en

(') Voir L. LALA?i?fE, Description et usage de l'ahatiue, etc. (i8/|5; 2* éclit., i85l

Ccian^ N|^ K&yj

ABAQUB DB M. L. LAL.VXNE. lo3

carré de o", ao de côté, dont la base et le côté gauche vertical sont divisés en 90 parties, proportionnelles aux logarithmes des 90 nombres compris entre 10 et 100, ou plutôt aux excès de ces logarithmes sur Tunité. Le nombre i est à Torigine, le nombre 2 à la dixième division, 3 à la vingtième, 4 à la trentième, et ainsi de suite jusqu'à la quatre-vingt-dixième division, en regard de laquelle se trouve le nombre 10. Par les points de division sont tracées des droites horizontales et verticales, parallèles aux côtés du carré, et des droites parallèles à Tune des diagonales.

Toutes les propriétés dont jouit Tabaque se déduisent du principe fondamental en vertu duquel le produit de deux nombres se trouve, comme dans la Table de Pjlhagorc, à la rencontre de deux droites, Tune horizontale, Tautre verticale, correspondant aux deux facteurs ( * ). La valeur de ce produit est indiquée par le chiflre de Toblique qui passe par le point de rencontre. Ainsi, Thorizontaie 3 et la verticale 2 se coupent sur Toblique 6 ; Thorizontale 3, 6 et la verticale 4^7 se coupent à peu près sur Toblique 16,9, et, comme le dernier chiffre à droite du produit est un 2, ce produit est exactement 16,92.

La division s'opère à l'inverse de la multiplication. Pour diviser 6 par 2, on suivra l'horizontale 2 jusqu'à la rencontre de Toblique 6, et le quotient 3 sera indiqué par le rang de la verticale sur laquelle on tombe. Pour diviser i5,4 par 4>4> on suivra Thorizon-

3* édit., i863). Traduction anglaise : Explanation and use ofihe abacus or french universtd reckoner ; London, 1846. Traduction allemande : Beschreibung und Gebrauchs" awveisung des jibacus oder iier allgemeinen Rechnungstafel ; Leipzig, 18.^6. Voir aussi Soa£TÉ d'encocragbmext pocr l'industrie matiohale, Rapport fait par M. Tbéod. Olivier, au nom. du Comité des arts mécaniques, sur un abaque ou compteur universely par M. Léon Lalanne, Paris, i** avril i8'|6; Jules dr la Gourmerie, Traité de Géomé" trie descriptive, Paris, 1860, p. 196-203.

(*) Nous avons tenu à placer dans ce Chapitre même, tout entier consacré aux inftniments de calcul, la partie du Mémoire précité de i843 qui se rapporte à la description et à l'usage de V abaque. On verra plus loin que V abaque est une application spéciale du principe général de transformation proposé par M. Lalanne sous le nom ^anamorphose géométrique, La simple traduction graphique de la Table de Pythagore, c'est-à-dire de Téquation xj = z, aurait fourni, dans l'espèce, un Tableau composé des hyperboles équilatéres xjr ^^ a, xy z= b, .... La graduation des coordonnées, non plus suivant les valeurs de x et de^, mais suivant les valeurs de x^=^ logo: et de/, = log^r^ a permis de remplacer, dans le Tableau, les hyperboles xjr^ z par les droites parallèles ;r, -h j', = z,.

lo4 CALCUL GR.iPHIQUE. — CUAPITBE III.

taie 4^^ jusqu'à Toblique i5,4; le point de rencontre est sur la verticale 3,5, ce qui donne le quotient cherché.

Pour élever un nombre au carré, on opère plus simplement que s'il s'agissait d'une multiplication ordinaire, en observant qu'une horizontale et une verticale qui portent le même numéro se coupent toujours sur la diagonale du carré de la figure. Ainsi, pour avoir le carré de 25, il faut suivre la verticale 2,5 jusqu'à la rencontre de cette diagonale, qui porte l'inscription de carrés; on y tombe

sur l'oblique 6, î>-5 : donc 25 = 025.

Réciproquement, on obtient la racine carrée d'un nombre en cherchant sur la ligne des carrés ce nombre (ou son produit par une puissance positive ou négative de loo) et en lisant le numéro de la verticale correspondante. Ainsi, les racines carrées des nombres 4; 9^ i^i ^-5, . . ., pris sur la ligne des carrés, sont a, 3, 4, 5, • . ., numéros des verticales correspondantes. Si l'on voulait

avoir y/36241, on prendrait le nombre 8,62 sur la ligne des carrés, et Ton verrait qu'il correspond à la verticale 1,90, d'où

( approximativement).

Le logarithme d'un cube se compose du logarithme de la racine et du double de ce même logarithme. C'est pour ce motif que la ligne des cubes, qui part de l'origine, est inclinée à 2 de hauteur pour I de base. Cette ligne sortirait du cadre à sa partie supérieure ; mais, en vertu de la symétrie de la figure, on a rapporté dans le bas la portion qui serait sortie dans le haut, de sorte qu'une seconde ligne des cubes, inférieure à la première, sert dans le cas où celle-ci vient à manquer.

La lecture sur ces lignes, tant pour l'élévation au cube que pour l'extraction de la racine, se fait comme sur la ligne des carrés. Toutefois, dans l'extraction de la racine cubique, il faut n'opérer que sur des nombres compris entre i et 100. On ramène tout nombre à ces limites en le multipliant ou en le divisant par une puissance convenable de 1000. Ainsi, pour trouver la racine

cubique de 1708 248, on divisera par 1000 et on lira 1,71 sur la

première ligne des cubes. Ce nombre correspond à la verticale

1, 195; on posera donc y 1708248 = 1 19,5.

ABAQUE DB M. L. LALANNB. 105

EIn suivant Tanalogie, il sera facile de tracer sur la Table les lignes qui servent à élever aux puissances ou à extraire les racines d'un deg^ré quelconque. Ainsi, la quatrième puissance doit se trouver sur l'une des trois transversales que Ton peut tracer sur la figure, à 1 de base pour 3 de hauteur; la cinquième puissance est sur l*urie des quatre transversales inclinées à i de base pour 4 de hauteur, et ainsi de suite.

Pour une puissance de certain degré, la première de ces transversales partira toujours de l'angle du cadre qui est en bas et à gsiuche ; la deuxième commencera au pied de la verticale en haut de laquelle se termine la première ; la troisième commencera au pied de la verticale en haut de laquelle se termine la deuxième, et. ainsi de suite.

li'élévation aux puissances fractionnaires plus grandes que l'unité se ferait à l'aide de transversales tracées sur Tabaque d'après les

i^émes principes. Ainsi, pour la puissance -i l'inclinaison de la

nsversale serait de i de base pour i ou - de hauteur.

Cria première ligne des cubes est inclinée sur le bord à gauche,

pï^ccisément comme devrait Têtre la ligne des puissances - sur le

^Ord inférieur du cadre. On se servira donc de cette ligne des

^^bes pour trouver les puissances-»

On demande, par exemple, la puissance - de 5. Parlons du

^C)mbre 5, pris sur le bord à gauche du cadre, et suivons l'horizontale correspondante jusqu'au point de rencontre de la première ^Çne des cubes. L'oblique que l'on peut imaginer par ce point por-

^^rait le nombre 1 1 , 2 à ses extrémités. On posera donc 5* = 1 1 , 2. La détermination du terme inconnu dans une proportion n'exige Qu'une multiplication et une division. L'abaque est donc essen- Mellement applicable au calcul de ce terme. Seulement, l'ordre ^ans lequel ces opérations sont effectuées pourra varier. La méthode la plus commode est fondée sur ce qu'une proportion doit ^tre considérée comme l'assemblage de deux rapports égaux. Si ^ODc on lit les deux antécédents sur les obliques et les deux con-

séquents sur les horizontales de la figure, les points de rencontre de chaque oblique avec Thorizontale correspondante sont sur une même verticale.

La règle dite de trois, les règles de société, d'intérêt simple et d'escompte se réduisent à des multiplications et à des divisions successives, que la Table permet d'eflcctuer. Les calculs d* intérêt composé, d\imortissenient, etc., se font au moyen des racines et des puissances que la Table fournit.

La Table se prête aussi à la conversion des poids et des mesures. Une quantité quelconque étant numériquement exprimée en fonction d'une certaine mesure prise pour unité, on la rapporte à une autre mesure en multipliant le nombre qui la représente par le rapport de la première unité de mesure à la seconde. Il suffit de marquer ce rapport constant par un trait sur Tun des côtes du cadre pour effectuer toutes les conversions relatives aux mesures considérées. On lit au bord du cadre, du côté gauche, en regard d'un certain nombre de traits, des notations abrégées qui se rapportent à divers cas usuels de conversion. On opère les conversions inverses en employant comme diviseurs les nombres qui servent de multiplicateurs dans les opérations directes.

Pour faciliter les opérations où le nombre air entre comme multiplicateur ou comme diviseur, on a tracé dans l'intérieur du cadre une horizontale qui passe par le point 6, 28 de la graduation du bord à gauche. On obtiendra donc à vue, très-promptement, la circonférence dont on connaît le rayon ou le rayon d'une circonférence de longueur donnée.

Les transversales marquées nr^ sont tracées parallèlement à la ligne des carrés. Elles servent à trouver immédiatement l'aire d'un cercle dont on donne le rayon ou le rayon d'un cercle dont on connaît l'aire.

Les trois transversales tracées parallèlement aux lignes des cubes

et désignées par - ttH servent à résoudre les problèmes relatifs au

volume de la sphère.

D'autres traits, marqués sur les bords du cadre ou qu'on peut y ajouter, permettent de lire immédiatement un grand nombre de résultats utiles, tels que Taire d'un polygone régulier dont on connaît le côté, le poids d'un corps dont on connaît la densité et le

ABAQUB DR M. L. LALANNE. I07

volume, les proportions de divers corps entrant dans une combinaison chimique, les éléments de calcul des formules relatives à la chute des corps, à Técoulement des liquides, aux oscillations pendulaires, etc., dans lesquelles les quantités g^ 9.gf y/gj* . . entrent comme facteurs.

Les deux échelles quintuples placées Tune au-dessus, Vautre audessous du Tableau, servent à mettre les lignes Irigonométriques dont elles portent les noms en correspondance avec les nombres marqués sur le bord inférieur de Tabaque. Ces nombres et leurs divisions sont reproduits dans la bande qui sépare les divisions Irigonométriques sur chacune des deux échelles. Grâce à cette disposition, on peut effectuer avec Tabaque tous les calculs dans lesquels les lignes trigonométriques n'entrent que comme multiplicateurs ou comme diviseurs, ce qui est le cas ordinaire.

L'abaque, fixé sur un carton et accompagné d'un style qui permet d'en suivre les diverses lignes, donne les résultats des opérations avec autant d'exactitude qu'une règle logarithmique qui aurait une longueur égale à deux fois le côté du cadre (').

78. Le professeur Herrmann a récemment proposé, sous le titre de Graphisches Einnialeiris, une Table réputée nouvelle, mais qui est, en réalité, la reproduction fidèle de l'abaque Lalanne (^), ainsi qu'on en peut juger par le seul exposé du principe.

(*) Voir, an Rapport précité (I'Olivibr, p. /|-6, une intéressante étoile comparative des résultats fournis par la règle logarithmique et par l'abaque.

(*) Une seule différence, purement matérielle, consiste en co que M. Herrxati;! a

divisé sa table en deux parties, pour en faciliter le pliage et le déplacement {^Das

graphische Einmaleins, Braunschweig, iS^S, p. i3, note). Il est permis do trouver

surprenant que, dans les vingt-deux pages qui composent son Instruction, M. Herrmanx,

professeur à l'École polytechnique d'Aix-la-Chapelle, n'aitpasuneseulcfois laissé tomber

de sa plumo le nom de M. Lalax.'ie. Cet oubli paraît d'autant moins excusable que,

dés l'année i8{G, ainsi que nous l'avons indiqué, une publication allemande de

L'abaque Lalanne a été faite à Lei psi g. Par un contraste d'ailleurs remarquable, tandis

^ue M. LALA!i:nE se montrait prodigue de son invention et favorisait ou autorisait

toutes les reproductions propres à la vulgariser, M. Hbbbman.n déclarait, dans son

GraphUches Einmaleins, que les contrefacteurs seraient poursuivis {Nachdruck wird

t^r/olgt),

L'aèaque de M. Lalam?ir a été reproduit aussi par Vogler dans les Sechs graphische Tafein zum ScfmeUrechnen und zum Schneïlquotiren, etc., nebst Gebrauchsanweisung, Berlin, 1877. — Voir l'importante publication de Vocler ayant pour titre Anleitung

108 CALCUL GUPfllOIlB. — CHAPITBB Ut.

Soit A [Og- 5i) un poinLquelcooque donné par ses coordoDDée> irthogoDales AB et AC. On mène par ce puiat une droite DAE.*

Fig. 5..

dite diagonale, qui fait avec chacun des deux axes un angle de^S'- Ona

OD = OE = CA + BA = OC -4- OB; cl par suile

OCz^OE — OB; 0B = OD — OC;

c'est-à-dire que l'une (les coordonnées d'un point quelconque est égale à ia dilTérence entre le segment déterminé sur les axes par la diagonale de ce point et la seconde coordonnée du même point. Imaginons que les axes portent des divisions logarithmiques, de telle sorte qu'on ait

OC=loga et OB=Iog6.

11 est clair que la diagonale DE déterminera sur les axes des segments OD, OE égaux à la somme des logarithmes de a et de b, égaux par conséquent au logarithme du produit ab. La règle pour la multiplication de deux nombres peut donc être ainsi formulée : on cherche les facteurs sur les axes, et la diagonale qui passe parle point correspondant à ces facteurs coupe sur les mêmes axes le produit cherché.

u dtron Gcbrauch btim

ichatllrechntn, elc.

ABAQUE DE 11. L. LALANNB. I09

La règle de la division est tout aussi simple. Pour diviser un nombre d par un autre c, on cherche le dividende d sur Tun des axes et Ton mène la diagonale correspondante. On cherche pareillement le diviseur c sur l'un des axes, celui des Y par exemple, et par le point correspondant on mène à Taxe des X une parallèle que l'on prolonge jusqu'à son point de rencontre avec la diagonale précédemment tracée. L'abscisse de ce point est le quotient demandé.

On peut donc prendre le diviseur sur Tun quelconque des axes et Ton trouve le quotient sur l'autre. Il est d'ailleurs évident que tous les points d'une même diagonale DE correspondent au même produit et à la même somme de coordonnées OC -t- OB = OD.

De là résulte la possibilité de combiner une multiplication avec une division. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'obtenir la valeur de — • On prend a sur l'un des axes, b sur l'autre; on mène la

diagonale du point A ainsi déterminé; on porte ensuite sur l'un des axes, celui des Y par exemple, l'ordonnée OF =y. La parallèle FH à l'axe des X coupe la diagonale au point H, dont l'abscisse OG

est la valeur g = —-•

Si l'on avait encore à multiplier ce quotient par un nombre i, le point d'inlersectîon A" de HG et de la parallèle aux X menée par 1 donnerait, par sa diagonale, le point L, extrémité du segment

/ = / -^ • Et ainsi de suite.

On effectue très simplement de la même manière l'élévation aux puissances et l'extraction des racines.

Menons par l'origine O une droite OR, telle que YR = - OY.

Le coefficient d'inclinaison de cette droite ou la tangente de son angle d'inclinaison sur l'axe OX est 2. Si par un point quelconque N de cette transversale on mène trois droites NM, NP, QNX respectivement parallèles à Taxe des X, à l'axe des Y et aux diagonales, on a

(i) 0M = 20P ou OP = -OM.

S'il s'agit d'élever un nombre p au carré, on cherche ce nombre sur l'axe des X, et du point P qui lui correspond on mène aux Y

IIO CALCUL GlAPUIQUE. — CUAMTAS III.

une parallèle qu'on prolonge jusqu'à sa rencontre avec la transversale en N. On mène par ce point une parallèle aux X jusqu'à la rencontre des Y au point M qui détermine le carré cherché. On trouve d'une manière analogue la racine carrée d'un nombre m.

(a) 0Q=::0X = 30P ou OP = ^OQ = jOX.

Pour élever un nombre /? à la troisième puissance, on mène par le point correspondant P de Taxe des X une parallèle à Taxe des Y; par le point N, où cette parallèle rencontre la transversale OR, on mène la diagonale qui détermine, soit le point Q- sur les Y, soit le point X sur les X. Ces points correspondent au cube cherché. L'opération inverse fournit la racine cubique d'un nombre proposé :

(3) OQ==0X==-0M ou OM = ÎOQ = ^OX.

On obtiendra d*une manière analogue les valeurs de (^m)',

licstd'ailieursaisé de voir qu'on pourra déterminer les puissanceset les racines d'un degré quelconque en traçant des transversale»* convenablement inclinées par rapport aux axes ( • ).

(') Sedlaczek ( t/ipft^r Visir itnd Rechen instrumente, Wîcn, i856, p. 3-4) comptait, en dehors de la règle ordinaire et de la Gunter's lùte, seize sortes d'instruments à dÎTÎsion logarithmique, savoir :

1. Slidingrule. — 2. Règle d'.^tlsTKRLE. — 3. Règle à calcul de Lbnoir. — 4. Règle de Scnwi:<D. — 5. Engineers sliding rule, — 6. Règle de L.-C. ScocLZ. — 7. Inverted sliàe rulc. — 8. Règle de Higgiso:*. — 9. Jmproved calculating rule. — 10. For mill i\'rights. — 11. For marine use. — VI. For timher mensuring. — 13. Dn. RoGET sliding rule for involution and et'ofution. — 14. Sliding rule pDur le calcul des prix. — 15. Règle chimique [sans doute l'instrument proposé par Wollastox dans son Mémoire .4 synoptic scale of chemical équivalents ; Philosophical Transactions de la S. R. de Londres, iSi'j, et Journal des Mines (t. XXWII, p. loi, i8i5)]. — 16. Règle de Sedlaczek pour les calculs d'interpolation.

Cette nomenclature, qui parait viser les règles proprement dites, à l'exclusion des autres formes, devrait être augmentée aujourd'hui d'un très grand nombre d'autres instruinenls, parmi lesquels nous nous bornerons à signaler les suivants :

17. Rè{;lc de Huarb ( The sîide-rule and how ta use it, etc., by Charles Hoabb, London, iS;.')). — 18. Palmer's Computing scaie {f^aw-York, iSjB). — 19. Fcllsi'x Computing teîegraph. — 20. Disque logarithmique de Sos.'IE (yinn. du génie civile !.%">; Instruments et macli. à calculer, Paris, i838, p. 70). — 21. Arithmoplanimètre

8TSTÉMB PKAUCBLLIBR. Jll