PRINCIPE DES SIGNES APPLIQUÉ AUX AIRES

décrivant le circuit, 0A| et OAj les côtés de Tangle infiniment petit formé par les deux positions de la droite mobile OA qui embrassent un élément &) du plan, inGniment petit dans toutes les directions et situé entre O et A|. Le sens du mouvement étant supposé tel que le point A occupe la position A| avant d^occuper la position A2, on dit que Tinterseclion Aj du circuit et du rayon Ow prolongé est positive ou négative selon que Taire du triangle A| OA2 est décrite dans le sens positif ou dans le sens négatif du plan. Si la description complète du circuit par le point A donne lieu à m intersections positives et à /i intersections négatives, Télément w appartient à m -f- w triangles ou secteurs élémentaires, tels que A| O A2, dont m ont des aires positives et n des aires négatives. L'élément w entre donc avec le coefficient m — n dans la somme S des m-^-n triangles. On vérifie aisément que le coefficient m — 72 de 0) est indépendant de la position du point O.

86. Soient co et co' deux éléments infiniment petits, appartenant à un même circuit partiel non croisé f , et tels qu'aucune partie du circuit total ne soit coupée par le segment de droite qui les joint. Si le point de pivotement O est pris sur Tun des prolongexnents de ce segment, il est évident que le rayon OA ne pourra pas décrire &> sans décrire en même temps Gt)^ Les deux éléments c») et w' entrent donc dans S avec le même coefficient. Ce coefficient est commun à tous les éléments du circuit partiel cp et constitue conséquemment le coefficient particulier à ce circuit.

Soient maintenant &) et co'' deux éléments infiniment petits, situés dans deux circuits partiels contigus, c'est-à-dire tels que le circuit total donné passe une seule fois entre co et (ù". Nous admettons qu'un observateur parcourant le circuit dans le sens donné aurait eo à sa droite et co'' à sa gauche au moment où il rencontrerait la droite ww"', après avoir quitté une certaine position F, mais avant d'avoir atteint une autre position G. Si l'on prend le point de pivotement O sur le prolongement de w^co, c'est-à-dire au delà de co par rapport à w", le rayon OA ne pourra pas décrire une seule fois tù" sans décrire en même temps co; mais, lorsque A parcourra la partie FG du circuit, et dans ce cas seulement, OA décrira &> sans décrire w". Le coefficient de w, c'est-à-dire du circuit partiel qui contient cet élément, dépassera donc d'une unité le

coefficient de w'' et du circuit dont w" fait partie. Mais les circuits partiels de w et de w" sont respectivement à la droite et à la gauche de Tobservateur qui parcourt le circuit dans le sens convenu FG. Donc, si Tun passe d'une aire partielle à une aire contiguë en traversant le circuit de droite à gauche, le coefficient de Taire d'où l'on sort est supérieur d'une unité au coefficient de l'aire dans laquelle on entre.

87. La région infinie ço a pour coefficient zéro, car on peut toujours attribuer au point O une position telle que le segment mobile OA ne rencontre pas un élément w© de cette région.

Si, partant de cpo, on pénètre successivement dans les circuits partiels, on formera le coefficient de chacun d'eux en augmentant ou en diminuant d'une unité le coefficient du circuit précédent, selon que, pour passer de celui-ci dans l'autre, on aura dû quitter la droite du périmètre pour en occuper la gauche, ou ^nce versa.

En général, si un point de la région ^o ^st joint à un point d'un circuit partiel (f par une droite qui traverse le circuit total m fois de droite à gauche et n fois de gauche à droite, le coefficient de cp est m — /i.

Si Cl, C2t ••• sont les coefficients respectifs des circuits [)artiels, non croisés, dont les aires sont fi, q)2y • • •? on a

'i?i-Hc,y,-f-

Lorsque le périmètre ne présente aucun croisement, il ne donne lieu qu'à un seul circuit limité 91, dont le coefficient est l'unité positive ou négative, selon que le chemin est de sens positif ou négatif. On a dans ce cas S = db cp,, c'est-à-dire que, le périmètre n'ayant aucun croisement, la somme 2 exprime l'aire que ce périmètre circonscrit.

On a été nalurelloment conduit par cette propriété à prendre la quantité Z comme définition de l'aire d'un circuit croisé quelconque.