REPRÉSENTATION DES AIRES PAB DES DROITES. RÉDUCTION, ETC

II. — Représentation des aires par des droites. Rédaction d'un triangle

à une base donnée (*).

88. Une aire pouvant être considérée comme le produit de deux longueurs, les règles de la Géométrie plane et celles que nous avons précédemment exposées permettront de déterminer par une simple multiplication graphique l'aire d'une figure donnée quelconque.

L'aire considérée, résultant du produit de deux droites, peut en effet être divisée par une longueur arbitraire, mais constante, i, que nous appellerons base de réduction et que, pour simplifier, nous prendrons le plus souvent égale à l'unité. La question revient dès lors à effectuer le produit d'une droite par un rapport, et nous savons comment on procède en pareil cas.

Par exemple, l'aire d'un triangle OAB, de base a et de hauteur /i, a pour expression

A =- ah.

Divisant cette aire par la base i, nous obtenons comme quotient une droite y, telle que

11 s'agit donc de multiplier a par le rapport —r ou h par le rap-

Dans le premier cas {Jig- Sg) on prend OC = nbj on joint BC et on mène AD parallèle à BC.

Dans le second cas {fig. 60) on détermine sur OB le point D, situé à la distance ai de OA, on joint AD et on mène BC parallèle à DA.

(') La résolution de ce problème remonte à l'École de Pttdac.ore. Ha^cell renonce ainsi : • Einen gegcbencn FJâchcnraum an ciner {jegebcncn Strccke zu entwerfen {"XnpoL^ÀÀtt'Jt applicare)^ d. h. in eiii Rcclitcck zu verwandcin, dcssen eine Scite jene gpgebeoe Strecke ist. ■ (Voir Zur Geschichte der Mathematik im AUerthum und Mittelatter, Leipzig, 187/1, p. 98-99). L'auteur de cette assertion, que Ham&kl ne désigne pas, est EcDÈXE. Voir à ce sujet : De ^U elementi d'Euclide libri quindhL /«^— *»••• ^- Fedebico Comma!«di!«o, Urbino. MDLXXV, c. 28.

La conslniclion donne, dans chacun des deux cas, deux triangles semblables ADO, CBO, dont les hauteurs sont entre elles comme les bases. On a donc

f\hz=za\ib.

On peut vérifier, par des considérations géométriques directes, que les multiplications ainsi efTectuées conduisent à déterminer

Fig. 59.

Fig. 60.

exactement l'aire du triangle AOB. Menons en effet la droite CD. Les droites AD et BG étant parallèles, les triangles OAB, OCD sont équivalents, et, dans chacune des constructions, l'aire du triangle OAB est

d'où

L'aire A est donc proportionnelle à la hauteur /d'un rectangle de base h. Nous avons obtenu /aussi bien par la transformation graphique du triangle que par une multiplication graphique, et les deux procédés concordent parfaitement.

Une telle concordance est difficile à établir quand il s'agit de figures compliquées. On évite alors d'opérer par voie de sommation des triangles partiels dont la figure se compose, et l'on procède directement à la transformation de l'aire proposée.

L*airc d'une figure quelconque, dont on veut avoir la mesure, peut être transformée soit en un rectangle de base A, soit en un triangle ayant pour base ou pour hauteur ih. On obtient par ces transformations des segments de droites proportionnels aux aires