IV. — RédDCtion d'un polygone quelconque à une base donnée
91. Pour déterminer Taire d'un polygone quelconque, à circuit croisé ou non croisé, ou pour réduire ce polygone à une base
REDUCTION D*UN POLYGONE QUELCONQUE A UNE BASE DONNÉE. l3l
donnée, on le transforme d'abord en un quadrangle équivalent (*). Soit 012345 le polygone proposé {fig. 68). On mène par le sommet i, parallèlement à la diagonale oa, la droite 12', que Ton prolonge jusqu'à sa rencontre au point 2' avec le côté 23. Les triangles 012, 02'2 sont équivalents, et il en est de même des polygones 01 2345, o 2^3 4 5. Le sommet i est ainsi éliminé et le nou-
Fig. 68.
^"eau polygone a un sommet de moins que le précédent. On éli-
'ï^ine de la même manière le nouveau sommet 2' en menant 2' 3'
parallèle à la diagonale o3. On arrive ainsi à transformer un
polygone d'un nombre quelconque de côtés en un quadrangle,
^^i est o3'45 dans le cas de la figure. Appliquant à ce quadrangle
^cs constructions précédemment indiquées, on détermine le seg-
^enty tel que le produit/^i soit égal à l'aire du polygone proposé.
92. Dans la construction précédente, les nouveaux côtés des polygones, résultant des réductions successives, sont des rayons Usus d'un même centre ou sommet fixe o. Mais on peut remplacer
l€ sommet fixe où convergent les nouveaux côtés par un côté fixe
sur lequel s'alignent les nouveaux sommets.
(') Cette question est traitée avec beaucoup de détail dans le Mémoire déjà cité de ^utTci. Elle fait le sujet d*nn Chapitre entier portant ce titre : Figurœ rectilineœ ^'^jut perimeter exhibetur, atquale triangulum construere, cujus vertex et latus opposi- 'tt» dantur potitione in piano figurœ, ita tamen, ut vertex non sit in trium vei plu» rium Ituerum rectis. On en trouve une étude encore plus détaillée, et peut-être même iiQ peo prolixe, dans un Mémoire de D. Leo!icio Ubillos, intitulé Explanacion de un ^'^ino. Procedûnientos graficos para la cubicacion, reparto en la linea de las pioduo»
^^de Uu excavaciones, y calculo de las distancias médias de trasportes, Madrid, 1873, P.S-Î,.
l3a CALCUL GRAPHIQUE. — CHAPITRE IV.
Considérons, par exemple, le cireuît ACO 12345 {fig' 69) et menons
II' parallèle à 20
33' ^ 4^' } jusqu'à la rencontre de OC.
Nous avons ainsi déterminé une droite AD, qui peut être sub-
Fiç. 69.
stituée à la partie inférieure A5432iO du profil. On substitue d^ la même manière la droite CB| à la partie supérieure, et le proEI polygonal tout entier se trouve transformé en un quadrilatère équivalent ABi CD. On réduit celui-ci à la base 2,b pour déterminer le segment y, dont le produit par b donne l'aire de la figure proposée.
93. La méthode précédente est la plus commode à appliquer quand les aires à déterminer se rapportent à des contours polygonaux très accidentés. Elle s'applique aux circuits entrelacés aussi bien qu'aux autres, elle permet d'avoir égard aux signes des aires partielles, et il suffit d'un peu d'exercice pour effectuer les transformations d'une manière en quelque sorte mécanique.
Soit, par exemple, à réduire par cette méthode le périmètre croisé ABC01234 {fig- 70), qui peut être censé représenter un profil de terrassement, partie en déblai, partie en remblai. On
RÉDUCTION d'un POLYGONE QUELCONQUE k UNE BASE DONNÉE. l33
mène
1 1' parallèle à 20
\ jusqu'à la rencontre du côté Ce
Le polygone donné est transformé en un quadrilatère équivalent ABCD, qui donne la différence entre les aires de signes con-
Fip. 70.
traires ABCI4f loi 23, représentant, Tune la section en remblai, Tautre la section en déblai.
Le circuit ABCD est de même sens que ABCI4 ou de même sens que loi 23, selon que l'aire du remblai l'emporte sur celle du déblai, ou vice versa.
94. Le même problème est susceptible d'une solution différente.
Soit en effet {fig* 71) une aire quelconque, limitée par un contour polygonal OABCDE et par une droite OX. On la décompose, au moyen de perpendiculaires abaissées des sommets du contour surOX, en une suite de triangles et de trapèzes transformables, par voie de réduction, à la base b d'un rectangle. A ces figures partielles on substitue des rectangles équivalents en prenant les milieux i, 2, 3, 4, 5 des côtés du contour polygonal. On projette ces points sur une droite MY, parallèlement à la droite fondamentale OX. La suite de la construction est suffisamment indiquée par la figure. La transformation des rectangles équivalents aux triangles et aux trapèzes partiels est effectuée au moyen du polygone de multipli-
l34 CALCUL GRAPHIQUE. — CHAPITRE IV.
cation OAaBtCaDaE, (23), et Taire de la figure proposée est égale au produit de la base b par le segment EEa. La partie de cette aire qui est située au-dessous de la droite OX est affectée du signe contraire à celui de l'autre partie. La mesure de l'aire partielle comprise
Fig. 71.
entre les ordonnées de deux sommets du contour proposé est égale au produit de la base constante b par la différence des ordonnées correspondantes du polygone de multiplication. Par exemple.
et ainsi de suite.
aire AiABBi= ^(B,B, — AsAt], aireAiABCCj=^(C,Ci— A,Ai),
RBPRBSBMTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS A DEUX VAEUBLES. l35
