RKPEESENTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS A DEUX VARIABLES

gner les points, tels que P, P|, Pj, P3, dont les coordonnées ont mêmes valeurs absolues, et d'attribuer chaque couple de coordonnées à un point du plan et à un seul. On obtient tous les points du plan en faisant varier les coordonnées depuis zéro jusqu'à Tinfini dans les directions positives et négatives des deux axes.

Les coordonnées d'un point P sont les projections de la droite OP sur chacun des axes à partir du point à l'infini de l'autre axe. Lorsque les axes sont rectangulaires, les deux projections sont orthogonales et les coor- F«ff- 73.

données d'un point sont les distances de ce point aux deux axes.

Dans le système des coordonnées polaires, la position d'un point P {fig' 73) est déterminée parla longueur du segment OP [rajon vecteur) compris entre ce point et un pôle fixe O, et par l'angle 9 que fait le segment OP avec un axe fixe OB. Le système des coordonnées polaires permet aussi d'obtenir tous les points du plan.

96. Au lieu de connaître une abscisse et une ordonnée, c'està-dire les deux conditions qui déterminent un seul point, on peut ne connaître qu'une certaine relation constante existant entre deux séries de grandeurs linéaires variables, susceptibles d'être prises successivement comme coordonnées relativement à deux axes. Cette relation constitue une première condition qui pourra être satisfaite psur une infinité de points, mais non par des points quelconques pris au hasard dans le plan; à chaque valeur de l'une des variables correspondent en effet des valeurs en nombre fini de l'autre variable. La suite continue des points dont les coordonnées satisfont à la relation ou équation donnée forme une ligne plane AB, qui est la représentation géométrique ou le lieu de cette équation.

Réciproquement, si un point P est assujetti à parcourir d'un mouvement continu une ligne AB située dans le plan des axes OX, OY, les coordonnées de ce point varient quand il se déplace, et toute valeur arbitrairement attribuée à l'abscisse OM = x, ou à l'ordonnée MP = y^ détermine une valeur correspondante de l'ordonnée ou de l'abscisse. Ainsi les deux coordonnées sont fonctions l'une de l'autre, et, si la ligne AB est géométriquement définie, on pourra déduire de sa définition même la relation qui existe entre

les deux coordonnées de Tun quelconque de ses points. Cette relation constitue l'équation en x et en y de la ligne AB.

On peut donc se proposer de tracer une courbe qui soit Timage d'une relation donnée entre deux variables ou de trouver une équation qui soit l'expression algébrique d'une courbe définie par une propriété géométrique. Le même raisonnement s'applique à tous les systèmes de coordonnées, et notamment au système polaire, dans lequel l'abscisse x et l'ordonnée j^ sont remplacées par le rayon vecteur p et par l'angle fl.

On voit, par ce qui précède, qu'une courbe et son équation sont deux expressions différentes d'une seule et même loi. On comprend dès lors que les problèmes d'application puissent être résolus soit par des constructions graphiques, soit par des calculs. Il est généralement facile de reconnaître, d'après la nature de la question, quel est celui des deux modes de solution qui doit être préféré.

97. Nous avons supposé jusqu'ici que la relation entre le&variables x qV y est soumise à une loi mathématique déterminée^ La même loi préside alors à la génération de la courbe corrélative^ et cette courbe est dite géométrique. Mais on peut aussi tracer, ecM la rapportant à nn système d'axes coordonnés, la courbe repré — sentative des relations qu'une suite d'observations a permis d'établir entre deux catégories de valeurs dont la dépendance mutuelle n'est exprimée par aucune loi préalablement connue. Les courbes de cette provenance sont souvent la traduction de Tables numériques à simple entrée, composées de deux colonnes dont les nombres se correspondent un à un. Ces courbes, appelées graphiques par quelques auteurs, n'existent en général que dans les limites où elles sont effectivement tracées et ne peuvent être prolongées au delà que si des observations plus étendues fournissent de nouveaux résultats à enregistrer.

98. Les courbes planes, géométriques ou graphiques, ont l'avantage de parler aux yeux et de faire saisir les lois de variation des fonctions mathématiques ou des relations empiriques beaucoup mieux qu'on ne le pourrait par la discussion des équations ou par rexamen laborieux des documents statistiques et des Tables numériques. Le tracé de plusieurs courbes, rapportées aux mêmes

REPRÉSEXTATIOX GRAPHIQUE DES FONCTIONS A DEUX VARIABLES. iSg

axes, permet de comparer facilement les allures de plusieurs fonctions d'une même variable (*), de trouver immédiatement, par exemple, les valeurs de ces fonctions qui correspondent à une même valeur de la variable commune ou les valeurs de la variable elle-même qui correspondent, soit aux plus grandes valeurs, soit aux plus petites valeurs, soit aux valeurs égales de la fonction.

Un autre avantage à retirer de la représentation graphique

des fonctions consiste dans la possibilité de parvenir, soit par le

procédé peu approximatif, mais relativement simple, de la pesée,

soit par la sommation des trapèzes, soit au moyen d'instruments

planimétriques, à la quadrature des courbes, sur laquelle repose

la détermination d'un si grand nombre de résultats utiles.

Quand une courbe est géométrique et qu'on en connaît la nature, il sulYit, pour la tracer tout entière, de calculer un petit nombre de ses ordonnées. On obtient ensuite graphiquement, avec une grande x^apidité, les valeurs des ordonnées comprises entre les premières. L'interpolation graphique peut d'ailleurs être pratiquée, même C|uand on ne connaît pas la nature de la courbe à tracer, par le raccordement d'un certain nombre de ses points (2). Le problème

(*) BBLCRA5D [Étude des lois qui régissent les crues des cours d'eau {Annales de la Société météorologique, t. I, p. 4o; Annales des Ponts et Chaussées, septembre et octobre 1846, janvier et février i85q); — Notice sur le régime de la pluie dans le bassin de la Seine {Annales des Ponts et Cliamsées, /|« série. i865, q* semestre)] 3 dégagé ou vérifié ainsi plusieurs lois relatives au régime comparatif des pluies et des cours d'eau en diverses saisons. Voir Marié-Davy, Météorologie générale; les mouvements de l'atmosphère et les 'Variations du temps, Paris, 1877, p. 824 et suiv. Elias Loomis {Journal de Physique, 1874, p. loi) et Balfoir Stewart {La Nature^ 1877, p. 107, i4o, i63. — Marbt, La méthode graphique, etc., Paris, 1878, p. 87) ont mis en relief et commenté, par le rapprochement de trois courbes, la coïncidence des variations périodiques de trois phénomènes qu'on aurait pu croire indépendants les uns des autres, savoir : les changements diurnes de la déclinaison magnétique, la fréquence des aurores boréales et Tintensité des taches du Soleil. Voir aussi la relation établie par G. Davtso!! entre les deux courbes qui représentent les variations annuelles des taches solaires et du niveau du lac Erié (la Nature, 1874). Dans les graphiques de la marche des trains sur un chemin de fer, dressés d'après la méthode d'IoRV, l'heure et le lieu do croisement de deux trains, ou de dépassement d'un train par un autre, sont donnés immédiatement par l'intersection des lignes qui représentent le mouvement des deux trains considérés.

(') Coc8i?iERT {Le calcul par le trait, III* Partie) a fait de cette question une étude très étendue.

l4o CALCUL GRAPHIQUE. — CHAPITRE V.

coDsisto alors à rapporter à une certaine fonction (*), et par suite à la courbe que cette fonction définit, la relation qui existe entre des variables dont un certain nombre de valeurs sont données par l'observation.

99. Les représentations graphiques de résultats d'expériences conduisent aussi quelquefois à remplacer certaines formules empiriques, usitées dans la pratique des ingénieurs, par d'autres formules également empiriques, mais dont l'expression figurée côtoie de plus près le diagramme des faits observés (*). Ces représenta-

(*) La fonction est ordinairement réquation 'd'une courbe du genre parabolique, c'est-à-dire de la forme

Il suffit, pour déterminer les constantes de cette équation, de pouToir emprunter à Tobsertation une suite de valeurs particulières des variables, dont le nombre soit au moins égal à l'indice du degré de l'équation augmenté d'une unité. Laplaûk ( Traité de Mécanique céleste, t. 1, liv. II, art. 29) a donné une méthode pour trouTer ces constantes par la comparaison de deux séries. Michal (Notes à l'Académie des Sciences des II octobre 1847 et i** août i85)| et Mémoire inséré dans \<ig Annales des Ponts et Chaussées, 4^ série, t. X, i865, sous ce titre : Méthode d'interpolation au moyen des courbes du genre parabolique) a substitué aux démonstrations de Laplacb d'autres démonstrations basées sur les procédés ordinaires de l'élimination. Il a donné des régies pratiques pour atténuer les causes d'erreur en déterminant d'une manière approchée le degré de la parabole d'interpolation qui doit être substituée de préférence à toute autre parabole d'un degré plus élevé ou d'un degré moindre. Michal a interpolé par des équations paraboliques les résultats de diverses expériences faites par Regxavlt pour déterminer les principales lois physiques et les données numériques qui entrent dans le calcul des machines à vapeur. Il a déterminé par la même méthode les constantes de l'équation relative à Técoulement de l'eau dans les conduites. Voir dans un Mémoire de Caccut, lithographie à Prague en 1887 et réimprimé dans le Journal de LiovviLLB, une méthode d'interpolation que M. Yvo?( Villarcbao a développée dans les Additions à la Connaissance des Temps pour 1802.

(") Voir Tables hydrauliques et méthodes graphiques déduites de formules nouvelles pour les problèmes sur les eaux courantes, etc., parM.DESAi!iT-V£:iA!rr (Paris, i85a). Le Tableau graphique de la Pi. I. contient, tant pour les canaux découverts que pour les tuyaux de conduite, les courbes comparatives fournies par les formules de Pnonv, par celles d'E\TELWEi!f, par des résultats d'expériences et par une nouvelle formule qui s'écarte moins que les autres du diagramme expérimental. Les Tableaux de la PI, Il du mëmeiMémoire servent à déterminer graphiquement : i** les largeurs et profondeurs qui peuvent être données à un canal trapèze pour transporter une quantité d'eau donnée, sur une ponte donnée; a^ les remous produits dans un cours d'eau, en amont d'un barrage qui relève ses eaux d'une hauteur connue en un point déterminé.

REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS A DEUX VARIABLES. lit

lions peuvent, de la sorte, ouvrir la voie à la détermination de certaines lois ou corrélations encore inconnues. Tel est le but final qu'on se propose d'atteindre, et dont on s'approche plus ou moins, quand on traduit graphiquement les relevés statistiques établis d'après l'observation des faits économiques ( * ) ou des phénomènes naturels.

Nous signalerons, parmi les diagrammes statistiques importants qui ont figuré à l'Exposition de 1878, ceux qui se rapportent au trafic annuel du canal de Suez, à l'histoire financière de la ville de Paris, au développement agricole et industriel et au mouvement de la population en Algérie, à la variation des prix et des salaires en Italie, au commerce de la Russie, de la Hongrie, de l'Amérique, etc.

Il était naturel d'exprimer par des diagrammes de même sorte les variations de cours des valeurs publiques et des principales denrées. Cette application, indiquée par Frissard dès le commencement de ce siècle, tend aujourd'hui à se généraliser. On en trouve de nombreux exemples dans les publications périodiques faites par les Bourses de divers pays, par les journaux financiers et par certaines maisons de commerce. Ces représentations synthétiques permettent de saisir à première vue tous les mouvements du marché. Elles donnent des faits une idée beaucoup plus exacte et beaucoup plus complète qu'on ne pourrait se la procurer par un amas de chiffres disposés en Tableaux (*).

(') Nous rappellerons à ce propos les beaux travaux de Quetelet sur la Physique sociale et sur rAnthropomctrie ( ^/iMro/7om«Vri>y ou mesure des différentes facultés de f homme, 1871). Les premiers travaux de Qdetelet sur ce sujet remontent à i835. Voir aussi : Boccardo, DelC applicazione dei metodi quantitativi aile scieiize economiche, statistiche e sociali, Torino, 1870, p. xxxiv. — J. Rcssel Soweay, Ckronological, hU" torical and statistical diagram from the year 1600 to the présent tinte, 1860). — RowDiTCB, The growth of children, Boston, 1877, ^''^na ihe Eighth annual Report of the State Board of health of Massachusetts. — H. Th. Kch.me, Graphisch-statistischer Atlas. — Atlas de Bergdacs. — A!IZIA!II, Relazione al Ministro d'agricoltura, industria e commercio intorno ai lavori eseguiti nella ultima adunanza del Congresso di Statistica deir Aja. — Élys£b Reclus. Géographie universelle, avec de nombreux diagrammes représentatifs des conditions économiques et naturelles des diverses contrées. — Favabo, Saggio di cronograjia dei matematici delV antichità, Padova. 1875; Sulla rappresentazione grajica dei prezzi délie derrate. Padova, 1875, etc.

(') On traduit assez souvent les faits do Statistique en coordonnées polaires. La Compagnie des chemins de fer de l'Ouest a publié, dans ce système, des diagrammes

100. Les sciences physiques mettent fréquemment à profit les avantages de la représentation graphique ; mais c^est surtout dans l'expression des phénomènes météorologiques que l'usage des diagrammes tend à se généraliser. Yi^ Annuaire de V Observatoire de Montsouris pour l'an 1878 en contient notamment un grand nombre, qui permettent de saisir et de comparer les variations accusées par les instruments indicateurs de la pression atmosphérique, de la température, de la quantité de pluie tombée, de Tévaporation, de Tintensilé lumineuse, de la direction des vents et de leur force, des quantités d'humidité, d'ozone, de microbes ou de divers gaz contenues dans l'atmosphère, de l'inclinaison et de la déclinaison magnétiques, etc. Dans ces diagrammes, le temps, exprimé en heures, en jours ou en mois, est généralement pris comme variable indépendante et porté en abscisses. Les quantités correspondantes, accusées par l'observation des phénomènes, $ont aussi exprimées en grandeurs linéaires et portées en ordonnées. On réunit souvent dans un même Tableau, en les faisant dépendre de la même variable, les résultats fournis par divers ordres de phénomènes dont le rapprochement peut conduire à d'utiles déductions.

de SCS recettes. Des rayons issus du polo divisent le plan en cinquante-deux angles égaux correspondant aux cinquante-deux semaines de l'année. Les lon(;ueurs portées sur ces rayons à partir du pôle représentent les recettes hebdomadaires, à raison de o"*,ooi pour 2000^''.

La Belgique a adopté le système polaire pour la statistique comparatiredeses provinces. Chaque province occupe un secteur, et des couleurs diverses permettent de distinguer, dans chaque secteur, les diagrammes représentatifs des différents laits.

Il arrive quelquefois que, au lieu de porter sur des rayons équidistants des longueurs proportionnelles à la mesure des faits représentés, on opère la division proportionnelle sur une circonférence décrite du pôle comme centre. L'importance relative des faits est alors exprimée par l'ouverture relative des secteurs concentriques. Tel est le principe du diagramme dressé par la Chambre de commerce de Marseille pour mettre en évidence le tonnage comparatif des diverses puissances maritimes du monde. Voir, dans la Relazionc générale sut cenni monografîcl dci siugoli servizi dipendenti dal Mi' nisicro dei Itivori pabblit-i^ compilât i in ocras io/ie délia Esposizione unix'ersale di Parigi dcir anno 1878 (Roma, 1878), les diagrammes indiquant, pour chacune des provinces itali(MHU's, les rapports de la viabilité à la supcrlicie et à la population. Voir aussi G. LtBON, La mcthode graphique et les instruments enregistreurSf etc., dans les Rapports sur r Exposition uniicrsclle de i8;8. Paris. 1879, p. 3 18

UntiSBNTATIOH GRAPRIOtlE DB9 F0>CTII1»3 A DEUX VARUBLB8. l43

La^g, 74) pai* exemple, présente les diagrammes de la pluie, ta pression atmosphérique, de la température et des degrés inoroétrîques, d'après les observations quotidiennes faites à tntsouris pendant le mois de septembre 1876. L'axe des ab-

sses est gradué de 1 à 3o, et chaque interligne de o^iOO'^ Tcspond à un jour.

La hauteur do pluie tombée chaque jour est comptée à partirde orizontalc et ;V raison d'un interligne i»ar millimètre d'eau. Dans la courbe du baromètre, qui donne la hauteur à midi, ique interbgne correspond à i"" de mercure. L'horizontale

f44 CALCUL GRAPHIQUB. — CHÀPITKB V,

qui sert de limile à la partie hachurée correspond k la pression moyenne normale de ^SS"".

Les courbes de température sont au nombre de quatre. La première, en trait plein, correspond aux températures moyennes déduites, pour chaque jour du mois, de soixante années d'observations faites à l'Observatoire de Paris. La seconde, également en trait plein, est donnée par les températures moyennes diurnes de l'année 1876-^7. La partie hachurée fait ressortir les périodes pendant lesquelles la température moyenne a été inférieure à la normale. Les deux lignes pointillées figurent, l'une ta marche des températures maxïma, l'autre la marche des températures minima.

La courbe inférieure marque les degrés actinométriques moyens de chaque jour, rapportés à la constante solaire 100. Chaque intervalle correspond alors à 5".

L'emploi des diagrammes à coordonnées polaires est indiqué quand il s'agit d'exprimer les variations d'un phénomène qui peut s'accomplir dans toutes les directions ou d'un autre phénomène ayant avec le premier une relation d'effet à cause.

Les roses figuratives de la direction ou de l'intensité des venu

Fia- 7S.

sont des applications bien connues de ce mode de représentation. La Jlg. 75 exprime, dans le même système, d'après les observations de Montsouris en 1877, la relation qui existe entre la direction des vents et les quantités d'oïone ou d'ammoniaque contenues

REPRESENTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS A TROIS VARIABLES. l45

dans l'air. La courbe pleine est déterminée par des rayons vecteurs proportionnels aux quantités d'ozone. La courbe pointlUée se rapporte à l'ammoniaque. On vérifie immédiatement que les quantités d'ozone, très petites quand le vent souffle dans les directions comprises entre le nord-ouest et le sud-est en passant par le nord, deviennent abondantes sous rinfluence des vents de l'ouest, du sudouest et du sud (*).

IL — Représentation graphique des fonctions à trois variables.

Fig. 76.

101. La position d'un point M dans l'espace est déterminée par trois coordonnées. Ces coordonnées sont, dans le système rectillgne rectangulaire, les distances positives ou négatives OA, OB, OC {jig. 76) d'un point fixe O, pris pour origine, à trois plans rectangulaires passant par le point considéré. Un autre point quelconque de l'espace étant déterminé par la commune intersection de trois autres plans respectivement parallèles aux précédents, ses coordonnées seront mesurées, à [)artlr du point O, sur les mômes axes que les premières.

On obtient les extrémités A, B, C des cooixlonnées d'un point M en projetant ce point sur chacun des trois axes fixes, au moyen d un plan parallèle à la direction des deux autres axes.

102. On peut ne pas connaître les trois coordonnées qui déter-

(') Nous no pouvons pas entrer ici dans le détail des innombrables applications qni ont été faites de la méthode graphique aux diverses sciences d'observation et principalement aux sciences médicales. On pourra consulter à ce sujet les Ouvrages •uiranto: Jaccocd, Leçons de Chimie médicale^ etc. Paris, 1867. — Ublb e Wagner, Trattato di Patologia générale. Venezia, i865. — Dohrx, Die geburtshUlflichen Opera^ tionen in Kurhessen wàhrend der Jahre 1 852-1 856. Cassel, 1862. — Lorain, Iai méthode graphique appliquée à t étude clinifjue des maladies {Revue des Cours scientifiques,

l4C CALCUL GRAPHIQUE. — CHAPITRE V.

minent un point dans Tespace, mais avoir une certaine relation

entre trois séries de grandeurs linéaires variables x^y^ Zj susceptibles d'être prises comme coordonnées relativement à trois axes que nous supposons rectangulaires. Par un point C, situé sur l'axe OZ, à une dislance quelconque c de l'origine, menons un plan parallèle à XOY. Les points de ce plan qui satisfont à la relation générale (i) sont liés entre eux par la relation plus particulière y(j:,j^, c)= o. Or, on sait (96) que cette relation entre les deux variables x et j^ représente une courbe située dans le plan considéré. Si l'on attribue à Z une nouvelle valeur très peu différente de c, on a dans un second plan, parallèle au précédent, une seconde courbe qui diffère très peu de la première. En général, si l'on fait varier Z d'une manière continue, on obtient une suite continue de courbes dont l'ensemble forme une surface. Cette surface est la représentation géométrique ou le lieu de la relation donnée entre les trois variables.

103. Réciproquement, si un point M est assujetti à se mouvoir sur une surface S, les coordonnées de ce point varient quand il se déplace, et à chacune de ses positions correspond une valeur

Paris, 1870). — LuRAiif, La Médecine scientifique {Het'tte des Cours scientifiques, Paris, 1870). — RuDORFP, Grumdriss der C hernie f Or den Unterricht ttn hokeren Lehrtinstalteny zwcite Auflajrc. Berlin, 1870. — Mandelblih, Tabellen zur Berechnung der Boden" erschôpfung und des Bodenkraft'Ersatzes.Graphische in Farben ausgefuhrte Darstellung der M ineralbestandtheile und des Stickstoff's landwirthschaftlicher Culturpfianzen uni Derschiedener Dungemittel. Leipzig;, 1870. — Maret, Du mouvement dans les fonctions de la vie. Paris, 1867. — Marey, La machine animale, locomotion terrestre et aérienne. Paris, 1873. — Maret, La méthode graphique dans les sciences expérimentales, et en particulier en Physiologie et en Médecine. Paris, 1878. — Lenoble do Teil, Locomotion quadrupède étudiée sur le cheval^ dans le Journal des Haras, 1877. — G. Lebok, Recherches anatomiques et mathématiques sur les lois de variation du volume du eer^ veau et sur leurs relations avec f intelligence, Paris. — Le Bon, La méthode graphique et les instruments enregistreurs, etc. Paris, 1879.

Pour les applications de la méthode graphique à l'Astronomie, a la Navigation et à la Météorologie, voir Baille et Hatt, Notes sur la détermination des éclipses, dans les Comptes rendus de VAcadémie des Sciences. Paris, juin 1878. — Yvos Villarcead et AvED de Magxac, Nouvelle navigation astronomique, Paris, 1877. — Marié-Davt, Météorologie générale, etc. Paris, 1877.

REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS A TROIS VARIABLES. l47

déterminée de l'ordonnée PM ou z. Mais la projection P de M sur le plan XOY se déplace d'une manière arbitraire dans ce plan. L'ordonnée PM = z d'un point quelconque M de S est, par conséquent, une fonction des coordonnées x gI y de P, considérées comme variables indépendantes. Si la surface S est géométriquement définie, on pourra déduire de sa définition même la relation qui existe entre les coordonnées de l'un quelconque de ses points. Cette relation constitue l'équation en x, j^ et z de S.

On peut donc se proposer de construire une surface qui soit l'expression géométrique d'une relation donnée entre trois variables OU de trouver une équation entre trois variables qui soit l'expression algébrique d'une surface géométriquement définie.

On peut d'ailleurs étendre ce qui vient d'être dit des fonctions mathématiques aux lois naturelles ou empiriques et aux relations que l'observation a permis d'établir entre trois catégories d'éléments variables.

104. Toute surface courbe, pour être réellement représentée avec des reliefs, exigerait les trois dimensions de l'espace qui correspondent aux trois variables dont elles figurent la relation. Mais on peut, au moyen d'une notation aussi simple qu'expressive, remplacer les constructions dans l'espace par des tracés entièrement contenus dans un plan, qui est ordinairement le plan horizontal des xy. Imaginons, en effet, que l'on coupe la surface par une suite d'autres plans horizontaux équidistants et que l'on projette orthogonale ment les courbes d'intersection ou lignes de niveau sur le plan des xy. Les projections seront l'exacte reproduction des courbes elles-mêmes. Le plan de projection ne conservant que les grandeurs des coordonnées x et y, et la troisième coordonnée z d'un point quelconque n'étant représentée que par la projection de ce point, on détermine la position de chaque courbe par un chiffre ou cote qui indique la valeur de z commune à tous les points de son plan. On possède ainsi, sur le plan coté^ tous les éléments nécessaires pour rétablir au besoin la surface courbe avec son relief.

Ce procédé est analogue à celui qu'on emploie en Géodésie pour figurer au moyen de courbes d'égal niveau les reliefs du sol

sur les plans topographiques cotés.

l48 CALCUL GRAPHIQUE. — CHAPITRE V.

105. Supposons qu'il s'agisse de représenter graphiquement la loi mathématique à trois variables exprimée par l'équation

dans laquelle x ei y sont les variables indépendantes, c'est-à-dlrc les arguments de la table numérique à double entrée qui servirait à déterminer les valeurs de z.

Attribuons à z les valeurs successives o, z^^ 2^1, 3^1, ...et rapportons à un même système d'axes les courbes planes représentées par les équations

/(^, /, o)— o, /(x, y, 5,)— o, /•(j7, 7, 25i) — o, /{Xy yyZzi) — o,

Ces courbes sont les projections orthogonales des sections horizontales équidistantes pratiquées dans la surface représentée par l'équation (i); on les affecte respectivement des cotes 0, ^o 2<Z|, 0^1, ....

^Si l'équation donnée est du premier degré en x et en/, les lignes de niveau et leurs projections sont des droites.

Si l'équation est de la forme

z z= ax -H by -h c,

le plan qu'elle détermine est coupé suivant des lignes de niveau qui sont des droites parallèles.

Si, dans la même équation, on fait a == t, les droites parallèles ont pour coefficient angulaire l'unité et font des angles égaux avec les axes des a: et desj^.

Ces angles sont de 45 degrés lorsque les axes sont rectangulaires.

L'équation i; r= -, ou, plus généralement,

est représentée par un faisceau de rayons cotés dont le centre a pour coordonnées a et h.

Lorsque l'équation à trois variables est du second degré, les courbes de niveau sont en général des coniques.

<( CII4PHIQDB DES FONCTIONS A TROia VAIIABLBS. IJQ

Soit, par exemple, à construire la suite des courbes de niveau constituant une table graphique propre à remplacer la table de Pj'thagore; x et ;y étaut deux facteurs quelconques, leur produit est fourni par l'équation

dont l'expression géométrique est un paraboloïde hyperbolique. En donnant successivement ù z différentes valeurs, on a les courbes horizontales de la surface. Ces courbes (G. 137, 2S9) sont des hyperboles équilatères homolhétiqucs rapportées à leurs asymptotes. L'ensemble de leurs projections cotées constitue la table à double entrée de Pouchet, dont la fig. yj présente une réduc-

FiB- 77.

lion. Pour déterminer le produit de deux nombres, on chercne le point du plan qui a pour coordonnées les valeurs linéaires repré- KDtatives de ces nombres. Ce point est sur une hyperbole dont la coie donne le produit cherché.

l5o CALCUL GRAPHIQUE. — APPENDICE DU TRADUCTEUR AU CHAPITRE ▼.