RÉSOLUTION GRAPUIQUE DES ÉQUATIONS. — MÉTHODE DE LILL
siotis successives par Xj et posons
JC
— ( A a * -i- Bx ) = )',„.j = - J„,3 4- C,
JC
— A = -Xm-l'
Chacune des équations Anales, telles que
JC
peut être considérée, dans un système de coordonnées orthogonales, comme l'équation d'une droite ayant pour ordonnée j,, pour abscisse N, pour tangente trigonométrique de son inclinaison
^^r l'axe des x, - et pour ordonnée à l'origine M.
Les équations (i) donnent lieu aux observations suivantes :
I** Toutes les droites qu'elles représentent ont la même incli-
'^^îson ( arc lang - j sur Taxe des x ;
a** La tangente, prise négativement, donne
^ A B — rm-t C — T//.-^ — ■ ■ .^ ^" ^ ^^ ~ ^1 — Xi .
^ Xm—\ J'm-t Xm—Z Ji ^
3" Le numérateur et le dénominateur de chacune de ces frac- *^*Ons peuvent être considérés comme les deux côtés d'un triangle ''^ctangle, et tous les triangles ainsi formés sont semblables.
Cela posé, imaginons que Ton décrive [fig- 93) un contour po- ■ygonal rectangulaire dont les côtés successifs oi, 12, aS, . . . , 78, ^*ent respectivement des longueurs proportionnelles aux coeffi- ^•ents A, B, C, D, . . . , M, N. Si l'on connaissait l'angle o A, 1 = a»,
dont la tangente Ingonométrique est égale à {x étant une des
racines de l'équation), on pourrait former le second contour polygonal oAïAaAj.-.Ax qui délimite, dans l'inlérieur du premier, les triangles rectangles oiA|, A,2A2, AaSAj, ..., dont nous avons parlé plus haut. Ce nouveau contour aboutirait exactement au point 8, extrémité du premier, et la longueur iA| (oi étant pris pour unité) serait une racine de Téquation proposée.
La résolution graphique de cette équation se réduit donc à chercher, sur le côté la du contour primitif, un point A|, tel que le nouveau contour rectangulaire, dont le premier côté est oA|, et dont les sommets consécutifs s'appuient consécutivement sur les
Fig. 93,
autres côtés 23, 34^ •••* du contour oi!23...8, ait pour dernier côté une droite passant par Tcxtrémité 8. Le nombre des racines réelles de Téquation proposée est égal au nombre de points, satisfaisant -à. celte condition, qu'on peut trouver sur le côté 12 ou sur ses prolongements.
138. Lill a imaginé un instrument très simple, qui permet de déterminer ces racines avec rapidité. Sur un disque circulaire en bois, parfaitement dressé, sont tracés deux systèmes rectangulaires de cordes parallèles, distantes l'une de l'autre d'un millimètre. Le
résolution' graphique des équations. — AIËTIIODE DE LILL. 201
disque est gradué dans le sens opposé à celui du niouveraent des aiguilles d'une montre. Il tourne autour de son centre, sur une tablette fixe, munie d'un vernier, et au-dessous d'un autre disque en verre transparent, usé à l'émeri, sur lequel on peut tracer des traits au crayon.
Pour résoudre une équation donnée, on commence par établir la coïncidence entre le zéro du limbe mobile et celui du vernier. Le rayon oY, qui marque la direction de l'une des deux séries de cordes parallèles, passe alors par le zéro commun, et le rayon oX passe par le point du limbe qui correspond à 2^0°. On marque, sur le verre, de la manière que nous venons d'indiquer, les points 0, I, Q, 3, .... 8, et l'on trace au crayon le contour ia3 ... 8. Le quadrillé du disque inférieur permet d'effectuer très rapidement cette opération. On fait ensuite tourner le cercle mobile gradué, jusqu'à ce qu'il parvienne à une position telle qu'un contour polygonal rectangulaire, appuyant consécutivement ses sommets sur les droites 01, 12, 23, .... vienne aboutir au point 8. Tout contour de ce genre fournit une longueur oA| qui représente une racine de l'équation. Les tâtonnements que cette recherche comporte sont rendus faciles et prompts par le quadrillé du cercle mobile. La graduation du cercle, dont le vernier permet d'évaluer un liers de degré, sert à déterminer les racines avec une plus grande exactitude. Chacune des longueurs, telles que oA|, n'est autre, en effet, que la tangente trigonométrique de l'angle dont il a fallu faire tourner le cercle mobile pour amener Taxe oX de sa direction primitive 01 à la nouvelle position oA| qu'il occupe lorsque le contour rectangulaire oA| A2 . . . A7 passe parle point 8. On pourra donc, au moyen de tables numériques, qui pourront être elles-mêmes transformées en tableaux graphiques, obtenir la longueur de ces tangentes avec plus de précision que n'en comporte la simple lecture du quadrillé.
Le sens dans lequel on doit tracer les côtés du contour primitif dépend du signe du coefficient que chacun de ces côtés représente. On peut suivre, à cet égard, la règle suivante : Supposons qu'on ait adopté, pour représenter les deux premiers coefficients, les directions des quatre côtés d'un carré 01 23. Les côtés correspondant aux coefficients qui occupent dans l'équation les rangs 4«H-i, 4'*"*" 2, 4'*"*-3, 4^2, suivront respectivement les direc-
10'À CALCUL GRAPIIIQI'E. — CHAPITRB VI.
lions oi, 12, 23, 3o, si ces coefficienls sont positifs, et les direcr^ lions opposées s'ils sont négalifs. Si un coefficient est nul, le raiw ^ des termes el, par suile, le sens des cotés ne subissent aucun ^ altération.
Il résulle de ces conventions, qui n'ont rien d'arbitraire, qif -^^
tout contour ainsi construit ne correspond qu'une seule équa
tion, et réciproquement. On peut donc dire qu'un tel contou '^^^ rectangulaire représenle graphiquement une équation déter — — minée.
Revenons à la recherche de la valeur iA|. Supposons qu'au lieL — i (l'avoir donné à ce côté la longueur convenable pour que le seconczzil
contour se ferme exactement au point 8, on l'ait pris d'une Ion
gueur telle que le dernier cùlé du second contour passe par un cei ^-
tain point 9 du côté 78. La distance 89 représentera l'erreim r finale Q à laquelle conduit Thypothèse. Proposons-nous de che^z^cher l'expression analytique de cette erreur.
Les triangles rectangles semblables oiA|, A12A2, AjSAa, .. <lonnent les séries de rapports égaux
lAj 2Aj 3 A3 78
Faisant iA|;=:X et représentant les longueurs 01, 12, 23, .. - • respectivement par A, B, C, . . . , on a
Kl)-©'
X\'"-' /xv "'
"(ï)-Hï)'— (1) -"(i)""**©
«l'où l'on déduit
RÉSOLUTION GRAPHIQUE DES ÉQUATIONS. — MÉTHODE DE LILL. 2o3
Si l'on fait ( — -— ) = Xi , on aura finalement
La valeur de Q est donc précisément celle que prend le polynôme
donné quand on y remplace par x la valeur — -- ou — — ^-^ Si
donc Q n= o, c'est-à-dire si le second conlour vient aboutir au point final 8 du premier, la quantité -—- sera une racine de
l équation proposée.
L'exactitude de la précédenle construction se trouve ainsi déniontrée; on reconnaît d'ailleurs que la racine obtenue est négative quand la longueur trouvée iA| tombe sur la partie positive de I !%, et vice versa.
Quand on est arrivé à connaître /• racines de l'équation proposée ^t qu'on ne peut plus obtenir, par la construction, aucun résultat nouveau, on en doit conclure que les m — r autres racines sont
•niaginaires. On peut appliquer à la détermination de celles-ci une niéihode analogue à celle qui vient d'être indiquée; toutefois, les ^^oniours rectangulaires auxquels on aura recours n'appuieront plus leurs sommets sur les côtés du contour primitif, comme il arrivait ^»iis le cas des racines réelles. Nous n'insistons pas davantage, et nous concluons en disant que cette méthode graphique peut être très utile pour trouver promptement une première approximation ^es valeurs des racines d'une équation numérique d'un degré quelconque.
139. Si l'équation est du second degré, la même méthode four- "'^ la solution suivante qui, dans ce cas, est rigoureuse. Soit 'équation
On construit [Jig' 94) le contour oiaJ, dont les côtés oi, I:^,
^^ expriment les coefficients A, B, C, et sur o3 comme diamètre
^^ décrit une demi-circonférence. Soient X|, X2 les deux points
^^ Cette demi-circonférence coupe le côté 12. Les longueurs iX|,
*-^5 sont les deux racines de l'équation, 01 étant pris pour unité.
'jt(>i
CALCl'L GRAPHIQUE. — CllAPITRB VI.
m. — Détermination graphique des racines d*ane équation.
Méthode de Bellavitis.
