A. — APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE AXAMORPHIQUE

I. - Abaques pour les problèmes sur réconlement des liquides. ih3. CoQsidérons la relation

clans laquelle on représente par R le rayon moyen d'un canal à pente et à section constantes, c'est-à-dire le rapport de la section mouillée au périmètre mouillé, par I la pente, par u la vitesse moyenne du liquide dans une section quelconque, par « et ]3 des constantes déduites de l'exiiérience.

On peut avoir à déterminer l'une quelccmque des trois quantités R, !,« en Fonction des deux autres. Le rayon et la vitesse étant considérés comme variables, si Ton attribue au paramètre R une série de valeurs constantes successives, on arrive à déterminer un tableau de paraboles dont chacune a pour cote la valeur correspondante de 11.

En prenant comme coordonnées, non plus les valeurs de I et de m, mais les log^arithmes de ces variables, M. CoHi^Ufm (*) a dressé un Tableau gra-

( • ) Cours de Mécanique appliquée aux constructions ; II* Purlie : Hydraulique. Par*»*» i88u, p. 298 cl PL II. D'uutres tableaux graphiques pour l'élude du mouvement de Tcau dans les canaux découverUi oui été dressés par M. Ed. Pkllis (Buli^^tln de la Société imudoise des ingénieurs et architectes , juin 1878); par MM. diA^' i^uiLLET cl Ki:tteu {Journal de la Société des ingénient s et architectes de Vi^^^n^» iS6(j); par M. llhniNG, dans les Transactions de la Société américaine des iu{^éni«3urs civils, janvier 1879.

CoL'si.MiRY avait déjà publié, en iSj'), dans le t. Il de son Recueil de Ta^/^^ ^ l'usage lies ingénieurs^ un Tableau (graphique à coordonnées (graduées, dressé d'dp'** la formule de Piiony, pour la solution des problèmes relatifs au mouvement de IVau dans les tuyaux de conduite. Ce tableau et un autre du même Recueil, relatif au produit de diMix nombres, dont l'un doit être élevé au carré, constituent deux ^P' pliculioris di*ja anciennes <le Géornclrie unamorjd>iqne, suivant la méthode inia^;'"^'''

*Ji.

ABAQUES POUR LES PROBLEMES SUR L ECOULEMENT DES LIQUIDES. aOQ

phique dans lequel les paraboles sont remplacées par des droites parallèles. L'angle des axes de coordonnées et les échelles de graduation ont été choisis de telle sorte que les droites correspondant aux pentes, aux vitesses et aux rayons sont respectivement verticales, obliques et horizontales. Les coefficients a et |3 variant d'ailleurs avec la nature des parois, l'axe vertical du Tableau présente quatre échelles de graduation distinctes, correspondant à quatre couples de valeurs de ces coefficients.

iki. La formule ( i ] représentera la loi d'écoulement dans les tuyaux do conduite, si l'on désigne par R le rayon du tuyau, par a et ]3 les coefficients particuliers à ce cas. On aura donc encore un Tableau de paraboles, transformable en un Tableau de droites, disposé comme il vient d'être dit. Dans les canaux découverts, la connaissance du rayon moyen R ne suffit pas pour déterminer la section et par conséquent le débit. Dans le cas des tuyaux,

par M. Lalakne. Cette méthode était, ea effet, connue par Vabaque et par le rapport de Caocht à l'Académie des Sciences (ii septembre iSlJS). CorsiNERY si(;nalait dans le même Ouvrage (p. 269) l'analogie qui existe entre l'anamorphose rcctiligne des courbes et le problème de Mercator et de Wright, consistant à allonger les degrés de latitude de façon à remplacer, sur les cartes plates, la loxodromie par un tracé rectiligne. Cette analogie est incontestable, dit M. Lalanne {Méthodes graphiques, etc., p. 4^6), mais a-t-elle joué quelque rôle dans l'invention de Tanamorphose? Les savants chargés d'en rendre compte à l'Académie ne l'ont pas pensé. Dans une Lettre du i5 août 1843, Lamé, résumant Topinion de Calxby, disait: « On peut contester à M. Lalamne la priorité d'invention relativement à l'emploi du tracé graphique en général, mais l'idée des coupes linéaires est neuve, ingénieuse et lui appartient exclusivement ». En dehors des cas d'anamorphose qui sont traités dans les Mémoires déjà cités de l'inventeur, nous signalerons, parmi les applications intéressantes do la méthode, l'abaque d'AtCAN pour la transformation des anciens titrages de fils en titrages métriques {Traité des matières textiles) \ les abaques de M. Loivel pour le calcul de la résistance à la rupture des fers ài double T et pour le calcul des intérêts composés à divers taux {Portefeuille ties conducteurs des Ponts et Chaussées, 4* sério, n" 6 et 7); quelques-uns des Tableaux de M. Eue. Pereire sur les questions (f intérêt et d'assurances ; l'abaque logarithmique proposé par le capitaine Goiîlier pour la correction des erreurs commises dans la mesure approximative des distances au moyea d'un in9«U*uiiient spécial {Mémorial de Vofficier du Génie, n® 18, 1868); les abaques de M. A. de Kaptetm, pour les calculs des soupapes de sûreté, des machines a vapeur, des épaisseurs de tôles pour chaudières {Revue universelle des mines, de la métallurgie, etc., t. XL, 1876, 2* sem.); les Tableaux graphiques de M. Lêvy-Lam- BUT pour les calculs des ressorts, traduction des formules de M. Phillips en abaques de lignes droites {Ann, des Ponts et Chaussées, 1880, 2* sem., p. 69); enfin les abaques de MM. RicooR, Gariel, Chery, cités dans le texte.

Les publications faites à l'étranger sur le même sujet par MM. Hermanm {Dos graphUche Einmaleins, etc. Braunschweig, 1875), Voglër {Sechs graphische Tafeln zum Schnellreehnen und zum Schnellquotiren, etc., Berlin, 1877), Kapteys {loc. cit.) et n I Helmert (Ze/WcAr. /ar f^ermesstingswesen, Stuttgart, 1878, Heft I) ont provoqué de ^ I la part de M: Lalan!IB des réclamations de priorité {Méthodes graphiques, etc., p. 398) ,

atO CALCDt CRAPHIQCB. — APPENDICE DU TUDUCTECR AU CRAPinE VI.

nu contraire, le débit est dooné par la relation Q =irR'ti; et comme le r.iyon, la pente et la vitesse GOat déterminés en chaque point du plan, la dc|)enseQ l'est aussi. On pourra donc tracer sur le même tableau les courbes 'd'égal débit. Ces courbes sont sensiblement droites dans le tableau anamnrphrisé que M. CoUignon a établi (') pour le cas de l'écoulement dans des tuyaux k parois lisses. Ce tableau permet de résoudre les six cat^ories (le questions qui consistent à déterminer deux des quatre quantités R, I, s et Q en fonctinn des deux autres.

II. — Déformation snirant un lenl axe. Uaqne des soupapes di^ssreté.

1 1»5. On opère quelquefois l'anamorphose d'une figure plane en la déformant dans la direction d'un seul des axes de coordonnées ('). On [leut, par exemple, se donner comme condition que tout point D [fig. 98) d'une

droite OM, obtenue par la transformation d'une courbe OAH, ait mèak. ^ ordonnée que le point A qui lui correspond sur cette courbe. Considérons l'équation

dans laquelle q prend successivement des valeurs constantes différentess i chacune de ces valeurs cori-es|)nnd une parabole, et la suite des parabitle^

(') Cauri dt Mécaaiqu.

{•) Voir Al», de Kattï

courbes par des lignes dro vaux publics, etc. Liège, 1

uns méthode d« graduation représentant da niferseUe des mines, de la métallurgie, des tr