AC = AB — BC

ce qui prouve que la valeur absolue de AG est aussi égale à AB — BC. D'ailleurs, la résultante étant de même sens que le segment (AB), AC est aussi de même signe que AB, on a donc,

AC =r AB -i- BC

Dans le cas particulier où les deux segments sont égaux et de sens contraires, leur résultante est nulle ; mais alors leurs mesures algébriques sont égales et de signes contraires, et ont aussi une somme nulle.

2° Le théorème, étant vrai pour le cas de deux segments, s'étend, facilement, au cas de plusieurs segments.

Soient S,, Sj, S^, Sj, quatre segments, et s„ s^, s^, s^ leurs mesures algébriques. Soit R, la résultante de- S[ et S^, et r^ sa mesure algébrique ; R^ la résultante de R, et de S,, et r^ sa mesure algébrique ; R la résultante de R^ et S4, et r sa mesure algébrique. R est la résultante des quatre segments. Or, d'après lapremiëre partie do la démonstration, on a les égalités

r est donc le nombre obtenu en faisant la somme de s, et s^, en

6 LEÇÛjNS UE TUIGOKOMÉTlilE.

ajoutant Sj au résultat i\, et en ajoutant .\ au nouveau résultat r^. Donc, par définition de la somme, on a :

ce qui démontre le théouème.

5. Tliéorème (de Chasles). — Soient A., B, C, D, E, plusieurs points situés sur un axe, on a, entre les mesures algébriques des segments suivants, détfi-minès par ces points, la relation

(3) ÂB -h BG + Ci5 + DE + EÂ = 0,

Celte proposition est une conséquence immédiate de la précédente; car le segment (AE) est la résultante des segments (AB), (BC), (CD), (DE) et l'on a

ÂB + BC + Ci) + i)Ê = AK.

Ajoutons aux deux membres de cette égalité lîA et, en remarquant que

AE 4- ïî"Â = 0,

on obtient l'égalité (3).

Remarque. — Ce théorème très important s'applique fréquemment pour trois points. Soient 0, A, lï trois points situés sur un axe, on a :

OA -L AB + ïïô = 0,

d'ofi l'on peut tirer

ÂTi := — BÛ — ÔÂ.

Or, en remarquant que

— BÔ — ÛB,

ceci s'écrit

(4) ÀB = ÔB — OA,

qui est une forme très usitée de la relation.

6. Projections. — Définitions. — Étant donnés un axe xx et un plan P, non parallèle à cet axe, appelé plan directeur de la projection, on appelle projeclion d'un point A de l'espace, sur l'axe xx',

INTKOnUCTION. -7

faite parallèlemenl au plan P, le ■point d'inlei'^secHon a, avec l'axe, d'iin plan parallèle au plan P passanl par \ [fig. 4).

La droite ka est ce qu'on appelle la projitanle du point A.

Dans le cas particulier oii le plan directeur P est perpeni-liciilairo à l'axe de projection x'x, la projection est dite orthogonale. Les projetantes sont alors toutes perpendiculaires à l'axe, comme étant situées dans des plans perpendiculaires à cet axe. On peut

donc dire que la projection orthogonale d'un point sur un axe est le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur Taxe.

On appelle projection d'un vecteur sur un axe le segment, porte par cet axe, gui a pour origine la projection de l'origine et pour exlréiuilé la projection de l'extrémilé du vecteur.

Ainsi, soit (AB) un vecteur, a la projection de A, et b la projection de B sur l'axe x'x {fig. 4) ; le segment (ah] est la projection du segment (Aii) et nous écrirons :

{a*) = proj.(AB).

REMARQUE. — Dans le cas où tous les points que l'on projette sont dans un même plan avec l'axe de projectio;i, la définition précédente

8 I.EÇOi\S DE TBIGONOMÉTHIE.

peut être mise sous une autre forme. Les projetâmes Aa, B6, Ce... des divers points A, B, C... [jig. 5) ne sont alors autre chose que les droites d'intersection des plans projetants avec le plan de la figure ; ces droites sont donc parallèles entre elles, comme intersections de plans parallèles par un même plan. On peut donc dire que, dans ce cas, la projection a d'un point A est l'intersection de l'axe x'x avec

la parallèle menée par A à une direction fixe. Dans le cas des projections orthogonales, cette direction fixe est perpendiculaire à l'axe.

7. Théorème. — Les projections, sur un même axe, de deux segments êquipoUents sont éqvipollentes.

Soient (AB), (A'B')deux vecteurs équipollents et {ah), {o!b') leurs projections sur l'axe xx" {fig. 6). Menons par A une parallèle à x'x qui coupe ie plan projetant B en p; de même, soit p' le point où la parallèle menée par A' àa;a:' coupe le plan projetant B'. Les figures Apid et Â'p'éV sont évidemment des paraliélogrammes. Les segments (Afi) et (A'p') sont, respectivement, équipollents aux segments («/') et {a'b'). Pour prouver le théorème il suffit donc de prouver que :

m = (.vp-)^

1° Les deux segments sont parallèles et ont même longueur. Car les deux triangles AB^, Â'B'p' ayant leurs eûtes parallèles sont semblables. De plus, comme AB := A'B', ils sont égaux. On a donc :

2" Les deux segments sont de même sens. Car les deux angles BAp et B'A'^' ont leurs côtés, respectivement, parallèles et sont