INTRODUCTION. B
égaux (commp, appartenant h des triangles égaux). Puisque (AB) et (A.'B') sont de même sens, (A?) et (A'P') le sont aussi; car, sans cela, les deux angles précédents seraient supplémentaires.
8. Théorème. — La mesure algébrique de la projection, sur un axe, de la résultante de plusieurs segments est égale à la somme des mesures algébriques des projections de ces segments sur cet axe.
Puisque, d'après le théorème précédent, deux segments équipolleiils ont des projections équipollentes qui, par suite, ont même mesure algébrique, on peut toujours supposer, pour faire cette
10 LEÇOKS DE TlilGOiSOMETIlIK.
démonstration, que les segments sont placés bout à bout, lIo fiiçon à mettre la résultante en évidence.
Soient donc (A.B), (BC), (CD), (DE) plusieurs vecteurs dont la résultante est (AE) {fîg. 7). a, h, c, d, e étant les projections des points A, B, C, D, E sur un axe x'x, on a, par définition :
[ab) = proj. (AB),
[bc] = proj. (BC),
(crf) = proj. (CD).
[de] = proj. (DE),
{ae) = proj. (AE).
Or, d'après la proposition du n" \, on a :
ae = ab -\- bc -\- cd -\- de,
et le théorème est démontré.
Corollaire. — Lorsque phisietirs segments, placés boni à bout, forment un contour polygonal fermé, la somme des mesures algébriques des projections de ces segments, sur un axe, est nulle.
Car si A coïncide avec E, « coïncide avec e et on a
Ce corollaire se démontrerait directement comme le théorème qui le précède, en appliquant le théorème de Chastes (n" 5).
Remarque. — On énonce souvent le corollaire précédent sous la forme suivante, abrégée, mais incorrecte.
La somme des projections des côtés d'un contour polygonal fermé, sur un axe, est nulle.
9, Définition. — On appelle segment directeur ou vecteur unité d'un axe, un segment, porté par cet axe, qui a pour mesure algébrique + 1.
Un axe est parfaitement défini par son segment directeur, car la droite indéfinie qui forme l'axe est la ligne d'action du segment et le sens positif de l'axe est le sens du segment directeur.
Théorème. — La mesure algébrique de la projection d'un segment porté par un axe, sur un autre axe, est égale au produit de la mesure algébrique de ce segment par la mesure algébrique de la projection du segment directeur de l'axe qui le porte.
Soit un segment (AB) situé sur un axe /y et (OD) le segment
INTHODUCTION.
directeur de cet axe. Projetons les deux segments (AH) et (OD) sur un axe x'x en {ab) et (orf). Je dis que l'on a [fig. 8) :
1° La rûlal.ion (1) est vraie, eu valeur absolue, car les qualre plans projelanl 0, D, A et B étant parallèles, interceptent, d'après un
théorème connu de géométrie, sur les deux droites y'ij et x'x, des segments proportionnels; on a donc :
OD où:
2" La relation (1) est yraie en signe. Les quatre points o, n, 6, d sont, d'après la manière même dont on les a obtenus, rangés sur x'a: dans le même ordre que les quatre points 0, A, B, D sur i/'y. Les deux segments (aô) et (orf) sont donc de mônae sens ou non suivant que les segments (AB) et (OD) sont, eux-mêmes, de même
sens ou non. Il en résulte que les deux rapports ■ et ^^ sont
OD orf
de même signe.
(01>) étant le segment directeur de l'axe y'y, on a, par délinition,
OrJ z;^ + i.
yGoosle
U ].EI.:o:iS I)E TUIGOXOHIÏTftlE,
La relation (1) s'écrit donc
nb AB
On en lire
ai) = AB X ôrf,
ce qu'il fallait démontrer.
Remarque. — Dans la suite, nous n'aurons plus à nous occuper que de segments portés par des axes et, plus particulièrement, de leurs mesures algébriques. Pour abréger le langage, nous conviendrons, dorénavant, de supprimer l'expression n mesure algébrique ». Ainsi, au lieu de dire la mesure algébrique du segment (AB), nous dirons brièvement /e segment AB. Cela ne donnera lieu à aucune confusion.
LIVKE I
FORIVIULES FONDAMENTALES
