Théorème. — Le quotient de deux racines de i'èquation
ic'" — 1 =
esf oussi racine de cette équation.
Car les deux racines x^ et Wj^ ayant pour module f et pour arguments
— -, — , leur quotient -^ a pour module i et pour argument
Ht*. On. donc:
APPKNDJCE.
e racine di l'équation est '>
Corollaire. - Toute, puissance entière négative de Véquation
est aussi racine de celle équation.
Car, d'après ce que nous venons de voir, on a ;
Remarque. — Le lecteur a, sans doute, été frappé p;ir co fait que les O|jét'atio[ia ftlTeotuées sur les racines .t,. de l'équation binôme
jouissent des mêmes propriétés que les opérations effectuées sur les puissauces d'un même nombre, l'indice È jouant le rôle d'un exposant. Cette analogie trouvera son explication dans le fait, que nous allons établir, que les diverses racines de celte équation sont las puissances d'un même nombre.
205. Racines iirimltlvc*. — Définition. — On appelle racine primitive d'une équation bin<''inc
toute racine de celte équation qui n'csl pus racine d'une équation binôme de même forme et de degré moindre.
L'existence des racines primitives sera établie par les propositions qui
est aussi racine de toute équation de même forme dans laquelle l'eieposanlde x est un maltiple de m.
Cette proposition est presque évidente, car si a est une racine de l'équation {(), on a :
a" = i , donc :
yGoosle
234 LEÇONS IlE TllIGOTOMKTIilK.
a est donc aussi racine de l'équation
quel que soit l'entier \i.
206. Théorème. — Les racines communes à doux équations binômes
sont toutes les racines de l'équation
d étant le plus grand eommun diviseur des deux nombres m et p. Soient, en effet, a:^ et x'^^ deux racines des équations {i] et (3) dont les
arguments sont et — ■' . Pour que ces deux racines soient égales, il
faut et il suffit, comme elles ont même module, que leurs arguments soient coufirns. On doit donc avoir :
Soit (i! le plus grand commun diviseur de m et p, et m' et p' 1 quotients de ces deux nombres par d. L'égalité précédente s'écrit :
m' divise le second membre de celte égalité, il divise donc hp' — hm', ce qui exige, puisqu'il divise km', qu'il divise kp'. Or, m' étant premier avec p', ne pent diviser hp' sans diviser k, on a donc t
)■ étant un entier ; et, par suite,
k rm[ r
m ~ dm' a
et, par suite, que a',^ est racine de l'équation (3).
At'PEKDICE. S95
Toute racine commane auï équations (1) et (2) est donc bien racine de l'équation (3).
D'ailleurs, réciproquement, toute racine de l'équation (3) est bien une racine commune des équations (1) et (2) puisque m et j» sont des multiples de ri (n" 205).
Corollaire I. — Si m e( p sont deux nombres premiers entre eux, les deux
rt'ont pas d'autre racine commune que ta racine Car, dans ce cas, iî= l.
Corollaire II. — Tmite racine de l'équalion
qui n'est pas primitive, est racine d'une équation dtméme forme dans laquelle l'exposant de x est tin diviseur de m.
Car a n'étant pas racine primitive de #' —1=0, est racine d'une certaine équation x'' — i = 0, p étant inféiieui à m. Elle est donc aussi racine de l'équation
d étant le pltis ^rand commun diviseur de m etp.
207. Théorème. — On obtient toutes les racines p-imitices de i'équalio', binôme
en donnant à k, dans la formule générale
des valeurs entières, positives, premières avec m et plus petites que m . Cherchons, en effet, l'équation binôme
de degré moindre que vérifie une racine .r^. Or, pouf que l'on ait
i3S LEÇONS DE TRIGONOMÉTRIE.
Soit 8 le plus j^raiid conimim diviseur de k el m, et /;' et m' les quolici ie ces deux nombres par 3, on a :
Pour que m' divise k'p il faut et il suffit, puisque b' et m' sont premiers entre eux, que p soit un multiple de m'. La plus petite valeur de p est donc m'. Nous arrivons donc au résultai intéressant que voici ;
Véquation btnome (3) de plus faible degré que vérifie la racine Sj. de l'équation (i) est eelle dont le degré est -^ , 6 étant la plus grand commun dkifeur entm m et k.
Pour que œ^ soit racine primilive, il faut que l'équation (i) soit précisément l'équation binôme de degré moindre vériiîée par celte racine. Il faut donc et il suffit, pour cela, que l'on ait S := 1, c'est-à-dire que k soit premier avec m.
D'ailleurs, comme on obtient toutes les racines de l'équation (1) en donnant, Ix h, les valeurs 0, 1, 2, ... (m — l), on aura toutes les racines primitives en prenant, pour k, ceux de ces nombres qui sont premiers
On peut remarquer que les racines primitives sout deux à deux conjuguées, car si k est premier avec m, il en est de même de m — k. Donc si x,^ est une racine primitive, il en est de même de k racine conjuguée *'ra-fr i^" ^02). Le nombre des racines primitii*es est donc toujours pair.
Corollaire. — L'équation binôme
admet autant de raebies primitives qu'il y a de nomùrcs entiers positifs inféi-îeurs à m et premiers avec Itd.
208. Tkéorème. — On obtient toutes les racines de l'équation fAnÔme
en élevant une racine primitive quelconque à m puissances entières consécutives.
Soil, en effet, a une racine primitive do l'équation (1) et considérons !cs ... „..: ,^ successives :
D'après le corollaire du n" 303, tous ces nombres sont des racines do l'équation (I); pour prouver que ce sont tontes les racines, il suffit de prouver que ces m nombres sont différents. Soient, alors, a'"*", a' ', k étant
supérieur ù h, deus des nombres de cette siiile, je dis qu'ils sont diUïreoLs. Car, s'ils étaient égaux, on aurait :
g^l + l' l^V + l' ^V¥' fjj*-'' J] 0,
Comme :,''+'' est dillereot do zéro, ceci exigt-rait que l'on ait ;
Or, S et h ôlaiit au plus t'gaux à m — 1, il en est de môme de k — h et cette égalité exp limerait que a est racine d'une équation binûme de degi'é inférieur à m; ce qui n'est pas, puisque, par hypothèse, n est une racine primitive.
Eu particulier, les nombres
sont les m racines de l'équation (1).
Remarque [. — Les puissances successives d'une racine quelconque a de l'équation (I) forment une suite périodique; le nombi'e des termes delà période est le degré de l'équation hinûrao de degré moindre que vérilie la racine a.
Kn eli'et, si {2) ^"-1 =
est réquation de degré moindre que vérifie le nombre a, ce nombre est
(es ji premiei-s nombres sont dilierents; ce sont, coram le voir, les f racines de l'équation (2). A partir do o. reproduisent dans le même ordre; car
Plus généralement, k élant un entier, posilirou négatif,
liEM.uiQUE II. — l.a racine
=^ 4- ■ s- Hl:
est cerlainement une racine primitive de réqnation (1) ; il resuite de là que les m racines de celle équation sont :
998 LEÇONS DE Tiur.OKOillETRfE.
Ceci, d'ailleurs, résulterait oacore de ce fait que (n- 203)
ExE>[PLES. — 1° L'équation binôme
a:' — 1 ^0 a deux racines primitives :
___ ^ , ■ ■ ?!;__^ L -Û ii'i — cos .^ -r j sin ^ — ^ ' ^ 2 '
= il: j ■■ ■ *!; = i -Û Xi - cos ^ H- i s,in ^ - ,^ I g .
Désignons l'une d'elles par j, l'autre sera égale <à j'^. Les trois r donc:
2" L'i^qualion
œ*— 1 = a deux racines primitives :
Les quatre racines de l'équation sont donc les quatre pretn sauces de i ou de — /.
209, Théorème. — p e( q étant deux norabres entiers, premiers entre eux, on obtient toutes les racines de Véquation
en mnltipljtmt, respectivemsnt, toidei les racines de l'éqwition
(2) ,.'-1 = 0, par eetles de l'équalion
De plus, on obtient toutes les racines primiiivei de l'équation (1) en multipliant entre elles les racines primitives des équations (2) et (3).
■^»-cos ^j I Slil ^^ ,
, 2A;; , , ^hr.
'\ - ''OS ^^ - - 1 sin ^ ,
<leiix racines ries équations (2) et (3), Leur produit a poui' argiii
2kr. , 2h7: 2{kq-\-hp)r .
