P ' 'I ~ PS

ce qui prouve qu'il est racine de l'équation (l). Bécip roque ment, soit

une racine de Téquation (])- On pourra toujours trouver deux nonilires entière h et h tels que To

ïfc , S/m 2c-

car, d'après un théorème d'arithmétique (') connu, on sait que, p elq étant premiers entre eux, on peut toujours trouver deux nombres k, et h vérifiant l'égalité (4), r étant donné, k et h étant trouvés, on a donc ;

La première partie de la proposition est donc établie. Supposons, maintenant, k premier avec p et A premier avec^, kq + ftp sera premier avec pq. S'il existait, en effet, un diviseur premier d, commun à kq -\- hp et pq, ce diviseur devrait diviser p ou q. Par exemple, supposons qu'il divise p; il divisera alors kp et, divisant aussi kq + hp, il devrait diviser kq. Divisant kq, il diviserait soit k, soit g, co qui n'est pas possible puisque ft et g sont, tous deux, premiers avec p.

Réciproquement, si r est premier avec pq, les deux nombres k et h qui vérifient l'équation (4) sont aussi premiers l'un avec p, l'autre avec q. Car si, par exemple, k avait un diviseur commun avec p, co diviseur divis'erait kq et hp, donc )-, et r aurait un diviseur commun avec p (ou pq), ce qui n'est pas. Il résulte de là que le produit de deux racines «,^, iK^ }>rmilives des équations {i) et (3) est une racine primitive de {i) et que, récipro-

ll) Voit, âaas les Lf.fOKS rfAnVAm^ii^dede M. Tannci-y, lo3 n"' SOD-511.

300 LEÇONS DE TlllGONOMÉTUIE.

quement, toute racine primitive S,, de (1) est le produit de deux racines primitives de (2) et (3),

Corollaire I. — p,, pg, ... p^ étanl k nombres entiers premiers deux à deux et ni leur produit, on obtient toxiles les racines de l'êqvatimi

en faisant tous les produits obtenus, en prenant, de toutes les façons possibles, k famés des équations

En particulier, on obtient les racines primitives en faisant les prodtdts des racines primitives.

Corollaire II. ^ Pour résoudre l'équation binôme

il suffit de résoudre les équations de marne forme obtenues en remplaçant l'exposant m successivernent par ses facteurs premiers affectés de leurs exposants respectifs.

Ainsi, par exemple, pour résoudre l'équation

il suffit de l'ésoiidi'e les trois équations

et de faire les produits des racines de toutes les manif

Remarque. — Le théorème précédent se rattache à une intéressante proposition d'arithmétique.

Désignons par f{m) {') le nombre des nombres premiers avec m et au pl,n«g.,ii4iiv.

Il résulte, de ce qui précède, que le nombre des racines primitives do l'équation

est f{m]. p ctnnL premier avec q, le nomli l'équation

esl, d'une part, ç {pq); d'autre part, ce nombre est aussi f{p] X ■?{''!), puisque les nombres des racines primitives des équations

sont 9{îilet ç{q}. On a donc:

?(mI = ?(p)ï(î)-

Cette proposition sntfit pour trouver l'espression de f {m\ lorsque m est décomposé en factetirs premiers.

Exemple, — L'équation

, jjj^ dont doux j et j^ sont primitives. L'cquntlon

a quatre racines 1, i, — 1,^', dontdei L'équation

J, V- -h —'h dont quatre sont primitives :

v^ — '?■ Ces quatre rauincs primitives sont dune de la forme :

210. Polysones rûsiillei's. — I! esiste, entre le problème de l'inscription des polygones réguliers et celui de la résolution des équations binâmes de ia forme

une relation intime.

Supposons, en effet, que, dans le cercle trigonométrique de rayon 1, on ait inscrit un polygone régulier de m côléa obtenu en divisant la circonférence en m parties égales et joignant îes points de division de p en p

302 LK(.:ONS DE ïlilGONOMETHIE.

(p premier avecmelplus petit que ^]. Soit AM {fiij. 64), un côté de ce polygone. L'arc AM a pour mesure — . ALaissons de M la perpendiculaire MP sur le rayon OA. Le segment "ÔP sera le cosinus de l'arc AM. On a

Dès qu'on connaît AM on connaît OP et, réciproquement, la connaissance de OP suffit à la détermination de AM.

Or, cos ^ est la partie réelle de la

de l'équation (1). On voit donc que, dés qu'on sait résoudre cette équation, l'on sait aussi inscrire lea polygones réguliers de m côtés.

Pour que AM soit bien le côté d'un polygone régulier de m côlés {et non (le moins), il faut {^\ que p soit premier avec m. Il suffit d'ailleurs, pour avoir tous les polygones réguliers de m côtés, de prendre, pour p, tous les

nonihres premiej-s avec in plus petits que — ; car, en joignant de p en p et

de m~p en m—p, on obtient le mÈme polygone. Ce fait résulte d'ailleurs de ce que les deux racines as et af^ sont conjuguées et, par suite, ont même partie réelle. Il s'ensuit . qu'à tout couple de racines prÎTrùtives conjuguées de l'équation (1), correspond un polygone régulier de m côtés et réciproquement.

II y a autant de polygones réguliers de m côtés qu'il y a de couples de racines primilives conjuguées de Fiquation (1). Jl y en a donc 5 f (m). Le calcul algébrique des racines primitives de l'équation [1| et VinsuHp'

Uon des polygones réguliers de m côtés sont cteuie problèmes du même ordre de difficulté. La résolution de l'un entraîne celle de l'autre.

DÈS qu'on a résolu l'équation (I), le calcul de la longueur du côté AM se fait sans difficulté, car on a :

>h; usas lui Leçons de Géeméirk ào M. lladaniard, lo chapLtr

On peut, alors, former une équation aj'ai valeurs de A.M. Remarquons, k cel efTet, que I

— = a: = cos -^ r sm -*— .

On en concliil :

«„ + i = 2cos?e.

Si donc on pose ;

dans l'équation (1), débarrassée au préalable de la racine 1 et de la racine — 1 (si elle l'admet), on aura une équation en y qui a pour racines les

diverses valeurs de 2 cos -^. Nous poserons, dans celte nouvelle équation

en y,

et nous aurons, lînalement, une équation on s qui admettra pour racines les diverses valeurs de AM.

Si on ne voulait avoir que les c6tés des polygones réguliers ajant effectivement m côtés, il faudrait faire les transformations qui précèdent sur l'équation obtenue en débarrassant l'équation (I] de toutes les racines non primitives.

On pourrait encore rattacher ce calcul, au moyen d'une remarque faiteplus baut, àla résolution d'une équation binôme, d'une façon plus directe.

Nous avons montré, en effet, au n" Tl, que le côté AM du polygone régulier inscrit de m côtés, obtenu enjoignant dep en p, est le double dii sinus du demi-arc sous-tendu. On a donc ;

LEÇONS m TUIGONOMÉTRIE.

lefficieiit (le i dans la racine

Si donc ou prend les doubles des parties imaginaires des racines x'^, de l'équation (2) (p premier avec m et plus petit que — ), on oura les côtés do tous les polygones réguliers de m côtés. Les parties réelles donnent les apothèmes coi-respondants. Ainsi, cos ^ est l'apothème du polyf^one régulier dont le côté est AM.

Nous avons montré, au n°7l, comment la connaissance des longueurs des

eûtes des polygones réguliers permettait de calculer les hgnes des arcs ^.

Ce qui précède nous montre comment, réciproquement, la connaissance de ces lignes ou, ce qui revient au même, la résolution de l'équation (2)

EXERCICES

e qiianiilo

96. a,, ai, . .. a,„ étant p quantités complexes fixes et z une quantité ima^'inaire variable, étudier la variation de l'argument de l'expression

loreque le point dont a est l'afllxe décrit une courbe ferraâe dans le plan. [Comparer

de z'', la formule de

Montrer que celte formule n'est plus e.iacte qu'à un multiplicateur près. 98. Résoudre, trigonométriquement, les équations binômes

1 qui domie cos — , coniiaissanl cos tc^ — 1 . Metlre iste entre la résolution de cette équation el l'inscription

équations binômes

er, démontrer que