CHAPITRE IV

RÉSOLUTION TRIGONOMÉTRIQUE DE L'ËQUATrOM DU TROISIÈME DEGRÉ

211. Eqnatloa dn itceond dc^i'é. — Nous avons, au n" 123, exposû deux méthodes pour la résolution Irigonométvique des équations du second degré lorsque les racines sont réelles. Nous allons, pour compléter la question, montrer maintenant comment on peut calculer trigonométi'iquement les racines d'une telle équation lorsque ces racines sont

une Équation de second degré, à coefficients a, 6, e réels, racines sont imaginaires; c'est-à-dire telle que

(2) 6^ — Inc < 0.

Ces deux racines sont; comme on sait, imagimiire* peut les mettre sous la forme :

i conjuguées

et ou

, ( a-' = p[cos<p-!- isiuïl, (') (^^ = F[cos?-isinïJ.

On peut toujours supposer qae x' est Ja racine telle que le coefficient (le i soit positif et, par cotiséqaeiit, on peut toujours admettre que f est un angle compris entre 0" et 180°.

Ceci posé, on a les relations :

On en tire, ;; élanl essentiellement posltil' ;

£ étant égal à -j-i ou— 1 suivant que a est positif nu négatif.

Les foi-mules (4), calculables pai- logarithmes, résolvent la question. Elles sont toujours acceptables. Car, d'une part, la condition (2) exige que - et ac soient positifs; d'autre pai't, cette même condition s'écrit :

ce qui exprime que le carré de la valeur de costp est plus petit que 1.

Elles donnent pour p et fp une seule valeur; car, d'après ce que nous avons dit, on devra prendre pour ç la valeur comprise entre 0° et 180", et il n'y en a qu'une.

Connaissant p et ç, on aura les parités réelles p cos tp et les parties imaginaires p sin ^ de a^ et x" par des calculs logarithmiques.

212. Éqantiun du ti>oi«<ièino dcsiM>. — Une équation du troisième degré est, par définition, une équation qui, toutes réductions faites, peut se ramener k la forme :

(1) ax'^-^hx^-\-cx + d^ .

Cette équation est susceptiMe d'une simpHlication importante que nous allons d'abord effecluer. Posons, à cet effet.

APPENDICE. 307

; sera racine de l'équation

a {y + Aj' 4- b{y + h)-' -\- c{y + h) + d = l)

wf + [3ah + b]y3 + [3uh^ + 2bh + c]y + ah' -'r bk'^ + eh + d =0 . Choisissons le nombre k de façon à annuler le coefficient de y^. Prenons,

et l'équation en y prendra, après avoir divisé les dens membres par a, la forme :

La résolution de l'équation (1) est ainsi ramenée à celle de l'équation (2) qui n'a pas de terme du second degré. A cbaque racine y de l'équation (2) correspond une racine de l'équalion (i) donnée par la formule :

213. Résolution algébrique. — Pour exposer les méthodes trigonométriques de résolution de l'équalion du troisième degré, il nous faut reprendre rapidement la méthode classique de résolution algébrique.

Soit

(1) Xi+px + q = <i

i équation, ramenée à la forme simplifiée, p et 5 étant réels. Posons

On aura, entre y et 2, la relation :

Comme l'inconnue m a été remplacée par deux inconnues y et s, on pourra les astreindre à vérifier une relation supplémentaire. Choisissons j/ et s de façon que, dans l'équation (3), le coefficient de (y + ï) soit nul. La résolution de l'équation (1) est ainsi ramenée à la recherche des solutions y &l z des doux équations simultanées

A. tout système' de sol Ut ions y et i du système (4) correspond une solution f de l'équation (1) donnée par la forniule (2).

LEÇONS DE TIIIGONOMKTRIE.

Pour résoudre le système (i), générale