I ...-(ly

Y et Z sont (lotie les laeincs de l'éqttation dtt second degré

C'est ce qu'on, appelle la résolvante de l'équatioiî (1). Y et Z élaiit les deux racines de cette éqaalion, on aura i; et s en résolvant les équations binômes (3).

En fait, il vaudra mieus ne pas résoudre ces deux équations binômes et procéder de la façon suivante. Remarquons, eu effet, que le système (4)*" est un peu plus général que le syslème (4) puisqu'il a clé obtenu en élevant la première équation,

au cube. Four ne pas avoir de solutions étrangères voici donc comment il faudra procéder :

Soil Y une racine de l'équation (6). On résoiit l'cqualiuu

A chaque racine ij de celte équation ou l'ait correspondre la valeur de s donnée par la première équation (4)

3^ a une racine x de l'équaliou (1) i

Discussion. — Au premier aLord, il semble que la résolution précédente fournisse six valeurs pour x, car l'équation (6) a deux racines qui donnent

chacune trois valeurs pour œ. Il est facile de voir que chacune des racines de la résolvante roiirnit les mi'mes racines pour x. Soient en effet, A. et B les (Jeux racines de l'équation (6). On a :

Soit a une des racines cubiques de A,

l'Égalité précédente prouve que La solution y = a, provenant de la racine A, donne, pom'?', I

l.a solution ;/ — — ^, provenant de la racine B, donnf

donc, la môme solution. Il suffit doue de prendre pour V l'une des racines, A par exemple, de l'équation (6).

Ceci posé, n étant l'une des racines cubiques de A, Les frois racines de l'équation

sont a, <ij, ap ; j et j- désig-nant, comme toujours, les deux racines cubiques imaginaires conjuguées de l'unité. Les trois racines de l'équation (1) sont

n + 6 , aj + bf , aj^ + bj ,

en posant, pour abréj^er.

Pour reconnaître la nature de ces racines, distinguons trois cas ;

1° les racines lîe larésolvante sont réelles et dislîncles. Kn d'autres termes.

■310 LEVONS DF. TBlGONOMÉTlilE.

Nous pouvons, alors, prendre, pour a, la racine cubique réelle do A et b seru éyalement réel. La racine a + b est réelle. Les deux autres; "J "!" y*' "J + îy^ sont imaginaires coDJuguées.

2' Les racines de la résolvante sont imaginaires. On. a donc

a élant Tune quelconque des racines cubiques imaginaires de A, il est lise de voir que b sera l'imaginaire conjujçuée de a. Car le produit ab est

.■éel et, de plus, les cubes ii^ et b' sont imaginaires conjugués puisque

a et 5 Étant conjugués, i/j et &j' le sont également, ainsi que fj ' et hj. Les trois racines sont, alors, réelles, puisque chacune d'elles est la somi de 'deux quantités imaginaires conjuguées.

3° La résolvante a une racine dotible. C'est-à-dire que Ton a ;

(iy-(?)'=»-

le simple réelle " ' ■ - V . 2'