iij' = 'p + y = y - 1 (j + i') = - y

cine double réel!

Formule de Cardan. — De ce qui précède, ou peut tirer une formul algébrique représentant les raciues de l'équation (1). L'une des racines (le la résolvante est, en effet.

lar suite ;

APPENniCK.

La formule de résolution est donc la suiva

dans laquelle c

En remarquant que j est l'un de la résolvante, on peut écrii

I, les liois valeurs de la racine les cubiques de la seconde racine

^V-2W(0'+(fy+\/-i-v/(i)"-(?)'-

n de formule de Cardan.

;s cubiques doivent Stre choisies de

Celte formule estconnue sous le n

Les déterminations des deus raci façon que leur produit soit réel.

Au point de vue algébrique, la formule (7) ne peut servir que lorsqu'une seule des racines est réelle. Dans le cas où les ti-ois racines de l'équation (I) sont réelles, elle devient illusoire.

En effet, la discussion précédenle nous a montré que :

1' Si les racines de la résolvante sont réelles, une seule des trois racines est réelle. Dans ce cas, la formule (1) est applicable, car on est ramené à extraire deux racines cubiques de quantités réelles.

2° Si les deux racines de la résolvante sont imaginaires, la formule (7) conduit à l'extraction des racines cubiques'de deux quantités imaginaires. An jioinC de vue atgébi-igue, on est alors conduit à une impasse. Pour extraire, en effet, la racine cubique d'une quantité imaginaire, par une ïoie purement algébrique, on est amené à résoudre une équation du troisième degré dont les trois racines sont réelles. On revient précisément au pi-oblème qu'il s'agit de résoudre et la question n'a pas avancé d'un pas.

Dans ce cas, la trigonométrie nous permettra de sortir de cette impasse, puisque, comme nous l'avons vu, on peut toujours, trigonométriquement, extraire une racine cubique d'une quantité imaginaire.

214. Résolution trigonom étriqué. — La résolution de l'équation

313 I-EÇONS m; TUIGONOMÉTIIIE.

Soient Y et Z les racines de cette équation, on calcule les moine

et on associe deux racines ?/ et ï dont le produit est réel. On a

Appliquons, alors, à l'équaliou (6), les méthodes que nous avons exposées aux n" 123 et 211.

Il se présentera trois cas :

Premier cas. p est positif. — Les racines de l'équalion ((î) sont réelles et de signes contraires.

Suivons, pas à pas, la seconde méthode du n° \%i. Posons :

E étant égal à -|- 1 ou — d, suivant que q est positif ou négatil'. On devra

ce qui donne, pour déterminer ç,

formule calculable par logarithmes. Cette valeur de IgS^ étant positive, fournira, pour f, un angle compris entre 0° et i'i°. Pour calculer y et î, posons :

(10) tg» ^ - tg ï,

et nous aurons ;

Les trois racines de l'équation (I) seront donc : ^. = *\/f(!3^-cotg^), ^-- ^ 'Vf (•'''8-'i'-/cotg'|),