E V — \ if tg -!- + ;■ cotg I
Remplaçant j etj^ par leui's valeurs et si m pli liant, ou a :
(14) »-,= .^-E[jij + i,'3col82«],
On est donc amené à faire uu calcul analogue au préuédenl, ti- et ç étant deux angles compris enlre 0° et 45°,
216. Troisième cas. — Les racines de la résolvante sont imaginaires, c'est-à-dire que l'on a ;
(ff-(î)<-
Celle condition exige, nécessairement, que p soit négatif. C'est le cas oii les trois racines de l'équation (I) sont réelles.
Pour calculer les racines Y et Z de l'équation (6), appliquons la méthode exposée au ii°21i. Posons :
V ^ p [cos f + i sin f], Z = p [cos ç - i sin ^j.
yGoosle
APPENDICE
NoHS aurons :
f- = -(!)', !pc.,ç = --,,
et, pat' suite,
.W^rr "••■.^,y
f el-^ étant iiin aura i
isi Oiiloiilés, par ces formules calculables par
logariUirat
= (■ (cos ç -^ i siii cf), z'! ^ p (cos ? — i sii
On est ainsi amenû à exti-aire les racines cubiques de deus imaginaires mises aous forme tri fçono m étriqué. On a donc, pour y etî, Iroi? valeurs (n° 200} et il faut associer les valeurs conjuguées ;
„.=W(c..J-M.i»|), =,=W(.o.|-<.„^), ï. = V;[co.(|+.20-) + .-.i..(|4«0-)],
.,=v;[...(|+...-)-<.in(|+«.)],
l/.=V;[oo,(|+2lO.) + i.i„(|+210-)], ..=V;[=o.(|+!!iO-)i.l,.(?+2M-)].
Finalement, les trois racines réelles sont données par les formules suivantes, en remplaçant p par sa valeur tirée de {loi :
,^ -2i/Zëcos?,
En résumé, on calculera f par la seconde formule (13), qui fournira tm angle f compris entre 0° et 180°. ç ayant été calculé, les formules (16) donneront les trois racine's par des calculs logarithmiques.
aïO LEi;ONS DE TlUGOPiOMlÏTIUE.
H est bon de remarquer que la formule (13) donne bien, pour cos s, une valeur acceptable. Car, puisque
ce qui exprime, précisément, que la valeur de cos ^f est plus pelite que 1.
217. — Les méthodes de résolution précédentes auraient pu être présentées d'une façon directe, sans les rattacher, comme nous l'avons fait, à la résolution algébrique. Cette nouvelle manière est évidemment moins naturelle que la précédente. Comme exemple, nous l'eiposerons pour le troisième cas, celui où toutes les racines de l'équatloii (l) sont réelles.
Considérons l'équation du troisième degré à laquelle on est conduit lorsqu'on veut résoudre le problème de la trisection, connaissant le cosinus de l'arc (n° 193).
D'après ce que nous avons vu, si on pose
y est racine de l'équalion du troisième degré
iyi — 3;/ — cos ? ^ .
Les trois racines de cette équation sojit ;
elles sont donc conaues dès qu'on connaît f.
Posons, dans cette équation.
k étant un nombre arbitraire. Elle membres par ft' et divisant par 4,
Nous obtenons doue, ainsi, une équation Uu lioisièuie àegri dont nous «ouuaissons les trois racines qui sont :
Cc..|, Sc„.(| + .20^), »c..(|.|-«0-).
Ceci pose, soit
une équation du troisième degré, ramenco à la forme simplifiée et ayant, par hypothèse, trois racines réelles, c'est-à-dire telle que :
0)'Kiy<»-
Si l'on peut déterminer un nombre k et un angle f tels que les équations (1) et (2} soient identiques, puisqu'on connaît les racines de l'équation (1), on aura, par là même, celles de l'équation (2). Or, cette identiQcation est possible. Posons, en effet,
La première égalité (4) donne, pour k, des valeurs réelles, car la condition(3) ne peut avoir lieu que si p est négatif. Ou en tire :
l'renons, par exemple, le signe (-!-) :
La valeur de k étant ainsi déterminée, la seconde équalion (4) domie :
V(~iy
318 LLi;OlVS de TlilGONOMÉTltlK.
Cette égalité fournit bien pour cos o une valeur acceptable, car la condition (3), qui est vérifiée par hypothèse, s'écrit :
ce qui exprime que la valeur de ces ^ç est plus petite que 1.
Ea résumé, pour résoudre Téquafion (2) ou calculera l'angle 9, compris entre 0° et 180°, vérifiant l'égalité (6^. Cet angle étant calculé, les trois racines de l'équation (â) seront :
L'équation (6) qui détermine f est identique h la seconde équation (la) du numéro précédent, el les formules (7) sont identiques aux formules (16) . On est donc ramené à faire exactement les mimes calculs
Remarque, — IN'ous avons pris pour fi la valeur positive. 11 est facile de vérifier qu'en prenant pour A la détermination négative, on aurait retrouvé les mêmes racines. Ceci revient, en effet, à changer fi eu —S:, coss ei!
-2\/-|c.s(|+300-) = 2v/-Eco,(| + «-).
On retrouve donc Lien les trois mêmes racines ; ce qui devait avoir lieu, puisque l'équation (2) n'a que trois racines. Il y aura avanlage à prendre pour h celte valeur négative lorsque q est positif, a(in d'avoir, pour cosf, une valeur positive.
Il serait tout aussi aisé de vérifier que les valeurs des racines ne changent pas si, au lieu de prendre pour l'angle ç la détermination comprise entre 0", et 180°, on prend une autre détermination vérifiant la relation (6).
APPEMIICE.
218. Exemple nujiébiqijE. — Résoudre l'équation re' — 2i,648a; + 7,344 = 0.
On a, ici,
