OA
Le point M décrivant le troisième quadrant A'B', le point P revient de A' en 0. Le cosinus est encore négatif at croît de — 1 à zéro.
Enfin, lorsque M décrit le quatrième quadrant B'A, P va do en A. Le cosinus est positif et croît de zéro à -|- 1.
Ceci peut s'exprimer d'une autre manière. Soit x l'arc AM; pour que, le point A restant fixe, l'extrémité M décrive !e cercle tout entier dans !e sens positif, il suffit de faire varier a; de à Sn.
Lorsque l'arc x atteint les valeui
poi
M esl.
respectivement, en B, A' et B'.
La variation précédente peut, alors, se résumer dans le tableau suivant qu'on lit de haut en bas et dans lequel les valeurs de x sont rangées par ordre de grandeur croissante.
1" Qîiad.
2' QiKid.
dccioit 1 positif.
décroît { négatif.
croît '^ndgalif.
croit I posai f.
Remaeque. — De ce qui précède, il est facile de déduire 1 variation du cosinus lorsqne l'arc x prend toutes les valeur
ravons fait remarquer plus liaul (ii" 12), I . en B ea décrivant un quBdraot.
3S I.EI.IO.NS m TRJGONOMlÏTHIi:.
possibles de — m à + =^- ï-n elYiit, lorsque x croît de 2k à 4ii, l'extrémité M de l'arc fait le tour du cercle exactement de la même façon que lorsque x variait de à Sti. Il en est de même lorsque x varie de i-n à &tz, de 6:1 à Sx, etc. ; et, aussi, de — 27c à (J, de — is ù. — 2tu, etc. Il en résulte que dans les intervalles
...,(— 4^, 2^), [27t,0), (0,2x),(-27t,4Ti), (4x, 6ti), ...
la variation est la même. Le cosinus repasse donc, périodiquemeni, pour des valeurs de x distantes de Stt en Stt, par les mêmes valeurs. 27. Sinns. — Définition. — Étant donnés, sur un cercle trigonométriquD, un ou plusieurs arcs d'origine A, on appelle axe des sinm reiatif aux arcs d'origine A l'axe j/y {{ig. 16) obtenu en faisant tourner Taxe des cosinus de ces arcs d'un angle droit dans le sens positif.
On a donc :
t,oy :
On peut remarquer de suite que si B est l'extrémité du premier quadran t d'origine A, le segment directeur de l'axe y' y est ÔB.
On appelle, alors, sinus d'un arc AM le segment OQ projection orthogonale du vecteur (OM), qui joint le centre du cercle à Vexlrémité M de Van, sur Vaxe des sinus relatif à cet arc {fig. 16).
On désigne le sinus d'un arc a par la notation sin o ; ce qui s'énonce : sinus a.
Comme pour le cosinus, deux arcs congnis ont le même sinus, on a donc :
sin ■;« + 2/f7r) = s
k désignant un entier positif ou négatif.
28. Variation du sinus. — Imaginons encore que, l'origine A d'un arc AM restant fixe, son extrémité M décrive le cercle dans le sens positif. Marquons encore les quatre quadrants successifs en conservant les mêmes notations qu'au n" 26.
lUÏHNlTlONS DES I.KlMiS TIUIJO.NOMO'UIOL'ES. 33
Lorsque M décrit le premier quadrant AB, sa projection Q, sur l'axe des sinus, se dùplace de en B. Le sinus est positif ii\. croît de zéro à CTB = + I .
M décrivant le second quadrant BA', Q revient de iî en 0. 1.c sinus est encore positif el décroît de + 1 à zéro.
Quand M décrit le troisième quadrant A'B', le point Q va de en B', Le sinas est négatif ei décroît de zéro à OB' = — 1.
Enfin, lorsque M décrit le dernier quadrant ïf'A, Q revient de B' en 0. Le sinus est encore négatif ci croit de — là /.éro.
En remarquant, comme nous l'avons déjà fait, que, lorsque l'arc x croît de à 2jr, son origine A restant fixe, l'extrémité M décrit tout le cercle dans le soua positif, cette variation se rL'Sume dans le tableau suivant ;
2" Quad.
3' Quad.
4" Qmid. \
positif.
positif.
, niQalif.
négatif.
29. Remarques. — Les variations précédentes du cosinus et du sinus donnent lieu aux remarques suivantes :
■{" Le cosinus et le siims d'un arc sont toujours compris entre ~\el +\.
. 2° Le cosinus s'annule lovsque l'on est wi mulliplo impair, positif ou négatif, de -. Car le cosinus s'annule lorsque l'extrémité M{/if/.i6)
est en B ou B', c'est-à-diro lorsque l'arc est congru à- ou — . L'arc
est, alors, de la forme 2k-!z -]- - ou SAtt -j- — ; par suite, c'est un
multiple impair quelconque de ,
U LEÇONS DE ÏHIGONOMÉTIilE.
3" Le simis s'annule lorsque l'arc e^l un rmdliple entier de ir. Car le sinus s'annule lorsque M {fif/. \G) est en A ou en A', c'est-à-dire lorsque l'arc est congru à ou à 7>.
30. Tangrente. — Définition. — Étant donné un point A sur un cercle trigonométrique {fis-il), on mène au point A la tangente /'' au cercle et, sur celte tangente, on choisit un sens positif parallèle à.
celui de l'axe y'y "^^^ sinus des arcs d'origine A. L'axe ainsi défini est ce qu'on appelle l'axe des favgentes relatif aux arcs d'origine A.
On appelle alors tangente d'un arc AM le segment AT [fig. 17), ■porté par l'axe des tangentes, ayant pour origine l'origine A de l'arc et pour extrémité le point d'intersection T du diamètre du point M auec l'axe.
On désigne la tangente d'un arc « par la notation : langa ou tgn; ce qui s'énonce : tangente a.
Deux arcs congrus ont même tangente ;
mais ici il y a plus. Deux arcs qui
diffèrent d'un midtiple quelconque de tt
ont même tangente. Soit, en effet, a
l'arc AM. Tous les arcs terminés en M
ou en M', diamétralement opposé à M,
Ij' ont la même tangente que l'are a. Or,
Fio. 17. les arcs terminés en M diffèrent de a
d'un multiple pair de ic et tous les arcs
terminés en M' diflerenl de a (n° 18) d'un multiple impair de tt.
Donc, en réunissant ces deux cas, tous les arcs terminés soit en M
soit en M' sont de la forme In -\- a.
On a donc :
)181 \g\k^ + a] = itia.
31. Variation de la tangente. — L'origine A de l'arc AM (fig. 17) restant fixe, faisons décrire à l'extrémité M tout le cercle dans le sens positif.
Lorsque le point M décrit le premierquadrant AB, lepoinlT, oùle diamètre de H coupe l'axe des tangentes ('(, se déplace dans le sens positif sur cet axe et décrit le demi-axe Ai tout entier.
Dlil'INITIO.VS DES LIGNES TKIGOTOHIÏTRTQOES. 35
A mesure que M se rapproche de B, le diamètre MM' tend à prendre la position BB' parallèle à t't et le point T s'éloigne indéfiniment dans le sens positif. Donc, lorsque H décrit ie premier quadrant la tangente part de zéro et croll sans cesse et an delà de toute limite.
Lorsque le pointM {fig. 17) dépasse le point Bet arrive dans une position telle que M,, le point T se trouve en une position telle que T, sur le demi-axe négatif A.('. La tangente est négative ; par conséquent, lorsque M a traversé le point B, la tangente a passé brusquement de -f- m à ^ «j (').
Quand M décrit le second quadrant, T remonte tout l'axe négatif AC pour revenir au point A. La tangente est négative et croit de — oo
Lorsque le point M décrit le troisième et le quatrième quadrant, c'est-à-dire la demi-circonférence A'B'A, la tangente reprend les valeurs précédentes et dans le même ordre. En effet, lorsque M' décrit le demi-cercle A'B'A, le point diamétralement opposé M décrit le demi-cercle ABA' et les arcs terminés en M' et M {flg. 17) ont même tangente Aï.
On peut résumer celte variation, comme les précédentes, dans le tableau suivant :
1" Qiaul.
3" Qiiad.
i' Quad.
Remarque, — Lorsqu'on connaît la variation de la tangente, lorsque x croit de à te, on connatt, dn même coup, sa variation lorsque x croît de — oo à -|- oo. Car, comme nous venons de le
page 163; n° 113, page 330; et lea n" I2i voriatiuns.
30 LEÇONS DK TIIIGO.^OMKTIIIE.
voir, de it à 2Tr elle varie comme de à ^. Puis, de "71 à 1)^, de JÎti: à 4k, etc., ainsi que <ie — -jt à 0, de — Stt à ir, etc , la \arialion est aussi la même que lorsque x croît de à it puisque, dans ciiacun de ces intervalles, l'extrémiLé M de l'arc décrit une des deux demicirconférences ABA' ou A'B'A.
Lorsque x croit, la tangente reprend les mêmes valeurs de it en « tandis que le cosiuus et le sinus ne les reprenaient que de 27u en Sti.
32. Cotan^cnte. — Définition. — Soit A un point d'un cercle Lrigonomé trique et Jî le point tel que
