AB
Menons, an point B, la tangente z'z au cercle et prenons, sur cette tangente, un sens positif parallèle au sens positif de l'axe des
cosinus des arcs d'origiue A, L'axe ï'î ainsi défini {/tg. 18) est ce qu'on appelle Vaxe des cotangentes relatif aux arcs d'origine A .
Ceci posé, on appelle cotangente d'vn arc AM le segment BZ, porlà par Uaxe z'z des cotangentes, ayant pour origine le point de contact B de cet axe avec le cercle et pour extrénùlé le point d'intersection Z du diamètre qui passe en M avec cet axe.
On désigne la cotangente d'un arc a par la notation : cotango ou cotg a; ce qui s'énonce : cotangente a.
De même que pour la tangente, deux arcs qui diffèrent d'un muliiple quelconque de ■k ont même cotangente. Car, si deux tels arcs ont même origine A, leurs extrémités sont ou coïncidantes ou diamétralemeut opposées. On a donc :
[19] cotg [li-K + o) = cotg ff,
k étant un entier, positif ou négatif.
LlliFlM'l'IO^S DliS LICiMiS TliiriONOSlKÏUiUDES. 3T
33, Variation de la cotangente. — La variation de la cotangente est aralogue à celle de la laiigente.
Lorsque l'extrémité Mdel'arc AM(^j, 18] est en A, le diamètre M'M occupe la position A'A parallèle à i!z et le point Z est infiniment éloigné. M décrivant le premier quadrant AB, !e point Z se rapproche de B pour y parvenir. La cotangente est positive et déci-oU de + =° Èi zéro .
Quand M décrit ie second quadrant BA', le point Z passe sur la partie négative B:' de l'ase el s'éloigne indéfiniment dans le sens de B vers :', La cotangente est négative et décroil encore de zéro
Quand M décrit le demi-cercle A'B'A, la cotangente reprend les valeurs précédentes, dans le même ordre.
On a, alors, 1g tableau de variation sliivant :
De même que la tangente, la cotangente reprend de t; en -nr le mêmes valeurs quand if croît de — = à + =o.
34. Remarques. — Les variations de la tangente et de la cotangente donnent lieu aux remarques suivantes :
'\° La tangente el la cotangente d'un même arc sont toujours de même signe.
2° Elles varient, l'une et l'autre, toujours dans le même sens. La tangente est toujours croissante; ta cotangente toujours décroissante.
3° Lorsque l'une est nulle, l'autre est infiniment grande.
La tangente est nulle cl la cotangente infinie lorsque l'arc est un
38 LO;0>S UE TRIGÛ^iOMmili:;.
mtdtiple quelconque de tc. Car ceci a lieu lorsque M esl en A ou A' et ce sont là les arcs pour lesquels le sinus s'annule (n° 2fl, 3"].
La colangente est nulle et la latigenie infinie lorsque l'arc est un
multiple impair de -. Car ceci a lieu lorsque M est en B ou B', c'està-dire lorsque ie cosinus est nul (n" 29, 2°).
Les particularités précédentes trouveront, plus loin, une explication dans ce fait que la cotaiigente d'un arc est égale à l'inverse de la tangente du même are.
35. Sécante. ~ Définition- — Oh appelle sécante d'un arc AM {fig. 19) le segment OS, porté par Vaxe des cosinus relatif à cet arc, ■ayant pour origine le centre du cercle et pour extrémité le point A' intersection S de la tangente ou cercle en M avec l'axe.
Ou désigne la sécante de l'arc u par la notation : séc a; ce qui se lit : sécante a.
On voit immédiatement que dewa; arcs congrus ont même sécante ; on a donc :
séc |2A-Ti -|- a) -. sécc/,
k étant un entier, positif ou négatif.
36. Variation de la sécante. — Lorsque l'extrémité M de l'arc AM décrit le premier quadrant AB, le point S part de A et s'éloigne indéfiniment sur ox. La sécante OS est donc positive et croît de ÔÂ = + 1 jusqu'à -|- =o ; car lorsque M est en B la tangente MS devient parallèle à ox.
Quand M pénètre dans le second quadrant (en M' fig. 19) le point S passe sur la partie négative ox' de l'axe (eu S').
Dlil'INITlONS DEi
LIGNES ïiugo>\ometrioi:es.
ie l'axe de x' vers A'. La sécante i
S décrit la portioa x'A.' de !'; négative et croît encore de — ™ iiÔÂ' = — 1.
M décrivant le troisième quadrant et le quatrième, S repasse, en sens inverse, par les positions précédentes. Donc, dans le troisième quadrant la sécante est négative et déci'oU de — là — ™ ; dans le quatrième quadrant elle esifositioe et décroît de + °° ^ + ' ■
Eésumons ceci dans un tableau :
37. Remarques. — \" La s'icunle a toujours le même signe que le
2" La sccanle ne prend aucune valeur comprise entre — 1 ei + '1. 3' La sécante est infiniment grande lorsque Varc est un multiple
impair de ~. Car la sécante est infiniment grande lorsque le cosinus est nul.
Nous montrerons, pUis loin, que la sécante est l'inverse du cosinus. Ces remarques seront alors évidentes.
38. Cosécante. — Dëlinîtion. — On appelle cosécante d'un arc âM ifig. 20) le segment OV, parié par l'axe y'y des sinus relatif à cet arc, ayant jiour origine le centre du cercle et pour extrémîli: le point V où la tangente au cercle M coupe cet axe.
On désigne la cosécante d'un arc a par la notation : coséc a; ce qui s'énonce cosécante a.
Il résulte, de cette définition, que deux arcs congrus ont même cosécante. On a donc :
[21] coséc (2 k-K + a] — coscc «,
k étant un entier, positif ou négatif.
id i.Efiû.xs m: TTiiGONoiiiiïTiiii;.
39. Variation de la cosécante. — Lorsque l'arc esl nul, c'esl-àdire lorsque son extrémilé M coïncide avec l'origine A, la tangente M V est parallèle a l'axe y'y et la cosécante est infiniment grande. Le point M décrivant le premier quadrant,
V décrit la portion i/B de l'axe, dans le sens négatif, La cosécante est poskiva et décroit de + ooà.OB = +l.
Quand M décrit le second quadrant,
V repasse, en sens inverse, par les positions précédentes. La cosécante est encore positive et croU de + 1 à -|- oo.
Lorsque le point M passe dans le traisième quadrant (en M' f^. 20), le point V passe sur la portion négative oj/' de l'axe (en V), La cosécante devient négative.
M décrivant ie troisième quadrant, Vva de ;/' (à l'infini) en B', La cosécante est néffalive et croît de — co à ÔF = — 1.
Enfin, lorsque M décrit le dernier quadrant, V reprend, en sens inverse, Fio. 30. les positions précédentes. La cosécante
est niigaiiveai décroît de — là — «j.
Ceci se résume dans le tableau suivant ;
!•■ QuaiL 2' Quiul.
3" Quad.
i' Quad.
décroit posiliv croît ' podlii-:
AQ. Remarques. — 1" f.a cosdcmUc « tovjours le même sifjne f/m
nKK!MTK).\S IIKS LIGM'^S TlUGOhOSItlTIiKJLiKS, il
2" De même quo la sécanle, la cosécanCe xe prend atiaïuc valeur comprise antre — 1 et -j- I .
'i" La cosécanie esl infiniment grande lorsqiic l'arc est un miilliple entier quelconque de -n. Gai" la cosécanle est infiniment grandi' lorsque le sinus est nul.
Ces remarques deviendront évidentes lorsque nous aurons montré que la cosécanto est l'inverse du sinus.
41. Tableau des sig:nes des llgniies ti'ig:onomëtriqiies. — Il est tout à fait nécessaire de bien connaftre, suivant la position relalivc de rextrémité d'nn arc par rapport à son origine, les signes des diverses lignes trigonomÉtriques. Nous résumons ces signes dans îo tableau ([iie voici :
{'"Quadrant.
a- Quadrant.
3" Qiiadrmit.
4° Quadrant.
OiUre les remarques que nous avons déjà laites snr la eorrespondancc des signes du cosinus et de la sécante, du sinus et de la cosécanle, de la tangente et de la colangente, ce tableau nous montre encore que le signe de la tangente et de la cotangevte se dêdvil des signex du cosinus et du sinus par la régie des signes d'algèbre. La tangente cl la coUingente sonl positives ou négatives suivant que le cosinus et le sinus sont de même signe ou non.
42. hignes trigrononiËtriqaes d'un ang;Ie. — Définition. — Nous appellerons sinus, cosinus, tangente, cotangenle, sécante et cosécante d'un angle les lignes Irigonom étriqués de mêmes noms de l'arc qui le mesure.
Ainsi, soit ox,om un angle, Tiaçons, de o comme contre, avec
a LEÇONS ni! THTGONOMÉÏUIi;.
l'unilé pour rayon, un cercle orienté qui coupe ox en k {fig. 21) eL om en M. L'arc AM a, comme nous l'avons vu (n" 22), même mesure que l'angle ox, om et nous appellerons, par exemple, sinus «.le
l'angle ox, om le sinus de lare AM.
43. Cosinns de l'angle de deux axes. — Étant donnés deux axes x'x et m'm (fig. 21) qui se coupent en o, nous appellerons angle de ces deux axes l'angle formé pai" les deux directions positives ox et
om. Soient, alors, OA et OM les segments directeurs de ces deux axes. L'angle ox, om est, précisément, mesuré par l'ave AM. Or, x'x
est l'axe des cosinus de l'arc AM et, comme le cosinus est, par définition, la projection orthogonale OP du vecteur (OM) sur x'x, on peut donner la définition suivante du cosinus de l'angle ox, om : le cosinus de l'angle ox, om est la mesure algébrique OP de la projection orthogonale du segment directeur de l'axe om sur l'axe ox.
Projetons le point A en R sur om. Le segment OR, porté par l'axe om^ est, d'après ce que nous venons de dire, le cosinus de l'angle
ôm, ox. Or, d'après la symétrie de la figure, on a, évidemment, OA = ÔR.
Il en résulte, i\\i'élant donnés deux axes, le cosinus de leur angle est
Dlil'-INITIO.NS MES UG>"ES TIIHIOSOITKÏIIIQUKS.
le même, quel que soit celui des deux axes que l'un p origine de Vatigle,
cos [ox, om) = cos (oj*(, ox).
Ceci nous permettra, dorénavant de parler du cosinus de l'angle de deux axes, sans jjr^ciser quel est celui des deux axes qui serl d'origine à l'angle.
44. Théorème fondamental. -^ La projection orlliogonale rf'tw segment, porté par un axe, sur un autre axe, est égale au produit de ce segment par le cosinus de l'angle des deux axes.
Soit, en effet, un segment AB porté par l'axe )/'y [fig. 22). Projetons, orthogonaîement, ce segment en ah sur un axe x'x qui coupe
le premier en 0. Soit OD le segment direcleur de l'uxe y'y et Orf s projection sur x'x.
D'après le théorème du n" 9, on a :
^ = Sîï. Ôrf-
Ur, comme nous venons de le voir, on a :
Qd = cos{x^x, y y);
i(;o^o^io'[tiE.
ab = AE. cos {x'x^ y'y)
Ce théiirùmo li-ès idiporlaiiL nous sera d'une grande iilililé dans la suite.
EXERCICES
6. Démontrer qu'on peut déûnir la tangente d'un are de la façon suivante :
Soit AM cet arc. Au point M on mène une tangenie m'm au cercle trigonoméirique oi., sur cette droite, on prend nn sens positif contraire à celui que l'on a choisi sur 1« cercle. Soit T lo point où le l'uyon OA prolonge coupo m'm. La tangente de
la cotangeiiie de l'arc AH est égale au snginent MS.
7. Construire, géométriquement, un arc plus pelit qu'un quadrant, sachant que la corde qui le sous-tend est égale à son cosinus. (Le cercle a pour rajon 1.)
