X variant dp. .'i în, éliidiei' les variations de
si.i=^'-3sin,r + î,
CilAPl'lKE m INVERSION DES LIGNES TRIGONOM ÉTRIQUÉS
45. Knoncé <ln iiroblêine. — Le prohlèmo de Vinoevsion d'une ligne trigonoméirique est ie suivant : connaissant une ligne IrigonOr mélrique d'un arc, trouver cet arc.
La soluliOQ de cette question comprend deux parties : '1° on cherche un arc admettant la ligne donnée. Nous nous contenterons d'abord de donner ici une construction géométrique de cet arc; nous apprendrons, plus loin, dans le Second Livre, coitimsat on pourra e(ï/L7(te' un tel arc; 2° connaissant ce premier arc, on clierche toutes les autres solutions.
INVERSION DKS LIGNES TUIGOKOllEÏItlQUKS. i5
46. Inversion du cosinus et de la sécante. — Soit a un nombre donné; proposons-nous de trouver un arc dont !e cosinus est égal à, a. Choisissons artiitrairemenl l'origine A de cet arc sur le cercle trigonométrique et soit ox l'ase des cosinus des arcs d'origine A. Portons sur ox, a partir de 0, un segment OP égal à a. D'après la définition même du cosinus, tout arc, dont le cosinus est OP et qui a pour origine A, est let que son extrémité se projette ortliogonalemeiit en P sur ox. Si donc on élève en P une perpendiculaire à ox (fîg. 23) qui coupe le cercle en M et M', les arcs cherchés sont tous ceux qui sont terminés en M et M', symétriques par rapport à ox.
On voit, de suite, que, pour que la construction réussisse,- il faut que P tombe entre A et A', c'est-à-dire que OP = a soit compris
entre— 1 et + 1. On aurait pu prévoir cela; car on sait qu'un cosinus est toujours compris entre ~ 1 et -f ' (u° -î*. '1°).
On désigne un arc dont le cosinus est égal h a pai' la notation : are eos a; ce qui s'énonce arc cosinus a
De môme, étant- donné un nombre 6, proposons-nous de trouver les arcs dont la sécante est égale à b. Portons, à cet effet, sur l'axe des cosinus ox un segment OS {^g. '23j égal hj>. D'après la définition de la sécante, tout arc dont la sécante est OS , et qui a pour origine A, est tel que la tangente au cercle en son extrémité passe par S. Si donc on mène de S les tangentes SM et SM', tous les arcs cherchés ont leurs extrémités situées soit en M soit en M', Ces deux points M et M', sont, comme pour le cas du cosinus, symétriques par rapport au diamètre AA'.
Pour que cette construction soit possible, il faut que le point S soit extérieur au cercle c'est-à-dire qu'il ne tombe pas entre A et A'. Il faut, pour cela, que le nombre b donné ne soit pas compris entre — 1 et -j- 1. Ceci était à prévoir puisqu'une sécante n'est jamais comprise entre — 1 et -f 1 (n'ST, 2°).
40 LEI;0?JS UE TlKGO^OMliïlUli:.
On désigne un arc dont la sécante est égale à h par la iiolalion : arc séc b ^ ce qui se lit arc sécante Ij.
En résumé, tous les arcs qui ont une origine donnée A et qui ont un cosinus donné ou une sécante donnée, ont leurs extrémités situées en l'un de deux certains points M et M' symétriques par rapport au diamètre qui passe en A.
Ceci posé, soit a l'un des arcs Â.M. Tous les arcs terminés en M sont congrus à a. Tous les arcs terminés en M' (N" '16, Récif.) sont congrus à — a. Il en résulte que tous les arcs terminés soit en M soit en M' sont de la forme
i étant entier, positif, négatif ou nul,
(Dans toute la suite de ce chapitre, la lettre k aura toujours la même si gniii cation.)
On peut donc énoncer la proposition suivante :
Théorème. — Tous les arcs qui 07il même cosinus ou même sécante que Varc « sont compris dans la formule
[23J ni: + a.
On peut donc écrire que l'on a :
arc cos (cos a) = S/jtt ± a. ; arc séc (séc a.) =: 2/;^ ± a.
(La notation arccos(cosa) désigne, comme nous venons de le dire, un arc dont le cosinus est égal à cos «.)
47. Inversion du sinus et de la cosécante. — Soit A un point du cercle trigonomé trique choisi comme origine des arcs, et y'y l'axe des sinus correspondant qui coupe le cercle en B et B'. Donnons-nous un nombre a, positif ou négatif, et cherchons tous les arcs dont le sinus est égal à a. Portons, à cet effet, sur y'y un segment OQ [fig. 24) égal à a. Tout arc ayant son origine en A et admettant "OQ pour sinus est, par définition, tel que son extrémité se projette en Q sur y'y. Si donc on élève en Q une perpendiculaire à y'y qui coupe le cercle en M et M', tous les arcs cherchés sont ceux qui sont terminés en M ou M', la droite MM' étant parallèle au diamètre qui passe en A.
La construction n'est possible que si Q tombe entre II et B'. Ceci exige que le nombre donné a soit compris entre — 1 et + 1 ; ce qui
1lNV[':KSI0.\ DLS LICXF.S THKiO.NOSIliTRlQLKS.
i est loujoui's compris dans ;al à a. par la nolation :
n'a rieo de surprenant puisqu'un ainu cos limites (n" 29, 1").
On désigne un aa-c dont le sinus est é
arc sin a; ce qui s'énonce arc sinus a.
Supposons, de même, qu'on se propose de trouver tous les arcs donllacosécanle a une valeur donnée i.Nous porterons sur l'axe y''/ un segment OV égal à 6 et du point V {fy. 24} nous mènerons les tangentes VM et VM' au cercle. Tous les arcs admettant OV pour cosécante sont terminés soil en M, soit en M' ; et la droite MM' est encore ici parallèle au diamètre qui passe en A.
Cette construction n'est possible que si V n'est pas entre B et B'. Il faut donc que le nombre donné b ne soit pas compris entre — i et -{- 1 ; ce qui est naturel, puisqu'une cosécante n'est jamais comprise entre — 1 et + 1 (11° 40, 2").
On désigne un arc dont la cosécante est égale à h par la notation : arc coséc ù; ce qui se lit : arc cosécante b.
En somme, tous les arcs qui ont une origine donnée A et qui ont soit un sinus donné, soit une cosécante donnée, ont leurs extrémités situées en l'un de deus certains points M et M' situés sur uneparallèle au diamètre qui liasse en A,
Cela étant, soit « l'un des arcs AM.
Tous les arcs terminés en M sont congrus à a. Tous les arcs terminés enM' sont, comme nous l'avons vu (n" 17, Itécip.), congrus à tt — a. On en conclut que tous les arcs terminés en M ou eu M' ont une des deux formes :
2/,-.v + ^-.. = (2/o + lj:r-a On peut donc énoncer ie lliéorème suivant :
Théorème. — Tous les arcs gui ont même sinus que l'arc a sont compris dans les formules :
Ces deux formules peuvent être réunies en une seuié. Iteniai-quons, en effet, que sij> est un nombre entier, positif, négalif ou nul (— 1)'' est égal à + I lorsque p est pair ou nul, et égal à — I lorsque p est impair (';. La formule suivante comprend donc les deux précédentes :
On peut donc écrire que Ion a :
arc5in(sin^) = j>7r + (-l)''=t; arc coséc (coséca) =: }m -\- (— i)''oL.
