Inversion de la tangente et de la cotangente

Soit A Lin point pris sur le cercle trigo nom étriqué {fi^. 2§), l't et ;';

les axes des tangentes et colangenfes relatifs aux arcs d'origine A, Donnons-nous d'abord un nombre a et cherchons les arcs dont la tangente est égale à a. Pour cela, portons sur l'axe des tangentes t't un segment ST égal à a. Joignons T au centre du cercle. Celte droite coupe le cercle en deux points M et M', diamétralement opposés. Tous les arcs qui admettent AT pour tangente, et qui ont

(1) Vùi! dam ims /-■^imis d'Aigèbre, le n- lO.iisgi: Si.,

INVERSION UES LIGNES ÏRlGONOHliïRIQUES. ■01

leur origine en A, sont terminés soit en M, soit en M'. Celte construction est toujours possible, quel que soit a.

On désigne un arc dont la tangente est égale à a par la notation : arc tg « ou arc tang a; ce qu'on lit arc tanj/enle a.

Soit, de même, un nombre b. Prenons sur l'axe des cotangentes z'z, à partir de son point de contact B avec le cercle, un segment BZ égal h b. Joignons Z au centre du cercle. Cette droite coupe le cercle en deux points diamétralement opposés, M et M'. Tous les arcs qui admettent BZ pour cotangente, et qui ont leur origine en A, sont terminés en M ou en M'. Cette construction est toujours possible.

On désigne un arc dont ia coLangeole est égale à b par la notation : arc cotg b ou are cotang b; ce qui s'énonce afc cotangente b.

En résumé, tous les arcs qui ont une origine donnée A et qui ont soit une tangente donnée, soit une cotangente donnée, ont leurii extrémités situées en I'lui de doux certains poinls M cl M' diomélrnlement opposes.

Soit alors a, l'un des arcs AM, c'est-à-dire l'un des arcs ayant pour tangente a ou pour cotangente b. Tous les arcs terminés en M sont congrus à a et tous les arcs terminés en M' sont congrus à n -[- a (n° 18, Récip.). Il en résulte que tous les arcs terminés soit en M soit en M' diffèrent de a, d'un multiple pair ou impair de x, c'est-à-dire d'un multiple quelconque de tt et sont compris dans la fonnale

fe + ..

On peut donc énoncer la proposition suivante . Théorème. — Tous les arcs qui ont jnêiiie tangente ou. même cotangente que l'arc a sont compris dans la formule :

On peut donc écrire :

are tg(tgcc) = kii-^a; arc cotg (cotga) =: k- -\- o.

(Ryppclous que arc tg (tga) signifie : arc dont la tangente est égale à tga.) 49. Remarque. — Il est clair qu'au lieu de reclienrlier les arcs

50 LEÇONS BE TlUGOiNOMÉTIlIE.

admetlant une ligne trigo no nié trique donnée, on aurait pu chercher les angles. Les résultats auraient été identiques aux précédents. Il suffit, dans les raisonnements, do supposer que fes arcs dont on parle, servent de mesures à des angles.

EXERCICES

0. Construire los arcs dont 1b siim- (;sl ligul à --: on iloiit le cosinus est lîgal