CHAPITRE IV

RELATIONS ENTRE LES LIGNES D'ARCS SUPPLÉMENTAIRES, COMPLÉMENTAIRES, ETC.

50. Nous venons de voir, dans le chapitre précédent, que, lorsque deux arcs ont même cosinus, ils ont aussi même sécante; s'ils ont même sinus, ils ont même cosécante ; enfin, s'ils ont même tangente, ils ont aussi même cotangente.

Dans ce qui va suivre, nous aurons à écrire des égalités de lignes trigonomé triques de certains arcs. Il résulte de cette remarque qu'il suffira de s'occuper des cosinus, des sinus et des tangentes. Car Végcdité des connus de deux arcs entra'uie celle des sécantes; l'égalité des sinus entraîne celle des cosécanles; l'égalité des tangentes entraîne celle des colangenies.

51. Théorème. — Deux arcs égaux et de signes contraires ont même cosinus. Leurs sinus et tangentes sont, respectivement, de signes contraires.

Car d'après !e théorème du n" IG, si on don::e à ces deux arcs

RELATIONS ENTRE LKS LIGNES U'ARCS SL'Pl'LÉMENTAIUES, ETC. 51

iDL'me origine A, leurs extrémités M et M' sont symétriques par rapport au diamètre AA', Ces deux points M et M' ont donc {fig. 26) même projection P sur l'axe x'x des cosinus el des projections Q et Q' symétriques par rapport à sur l'axe y'y des sinus. Enfin, OA étant la bissectrice de l'angle MOM', les rayons OM et OM' coupent l'axe des tangentes ti' en des points T' et T symétriques par rapport à A. On a donc :

cos { — x)--

■26] sin{-3;)=-

[ tg(-^)--

-tga;

let

Il résulte de là que deux arcs ont même sécante et des cosécantes et cotangentes de signes contraires.

52. Théorème. — Deux arcs supplémenlaires ont même sinus. Leurs cosinus el leurs tangentes sont de signes contraires.

D'après le théorème du n" 17, si on donne h ces deux arcs môme origine A, leurs extrémités M el M' (fig. 27) sont situées sur une paralièle au diamètre AA'.

Les deux points M et M' ont donc même projection Q sur l'axe des sinus i/'y et des projections P et P' symétriques par rapport à sur Taxe w'x des cosinus. Les intersections T et T' des rayons OM et OM' avec l'axe ('( des tangentes sont évidemment symétriques par rapport à A puisque y'g et œ'x s

nt les bissectrices de l'angle M'OM.

LEÇONS niL thigonométuie.

cos (tt — a,') = ■ — cos a-, siri (tu — x) ^= sin!C, tg(7r-a) = -lg3.-.

53. Théorème. — Deux arcs qui diffèrent d'une demi-circonférence ont même tangente . Leurs cosinus et leurs simis sont, respectivement, de signes contraires.

Car d'après le n» 18, ces deux arcs, s'ils ont même origine A, ont leurs extrémités M et M' diamétralement opposées. Ils ont donc

xMy'

évidemment même tangente AT. Les projections V et P', Q et Q' de M et M' sur Taxe des cosinus et l'axe des sinus sont symétriques par rapport à {fig. 28). On en conclut que ;

■ cos (31 + 3^) = — COS CE,

sin (tc 4" x) — — sinx, ' tg f^ + x) = tg a:.

Remarque. — La relation

tg(7r + T) = tgX n'est qu'un cas particulier de la relation [>lus générale [18J (n" 30).

ItELiTIONS ENTRE LIÎS LIGNES D'AUCS SCPPLÉMliNTAIItES, ETC. 53

On aurait pu établir les relations [28] en combinant les deux lliéorèmes précédents des numéros ii2 et 53. Car, si on remarque que

on a, cil appliquant, successivement, les formules [27J et [26],

cos (tt ~\- x)~ — eos (— a:) = — C0S3:, Sin (t. + x) = sin {— x) = — sinar, tg(7r+x} = -tg(-^)=itgx.

54. Théorème. — Lorse/ue deux ans sont complémentaires, le cosinus, la cosécanle et la eolangenle de l'un sont, respecliDenient, égaux au sinus, à la sécante et à la tangente de l'autre.

Pour établir cette proposition, nous ferons, d'abord, la remarque que voici :

Soit AM un arc sur un cercle orienté dans le sens positif f (fig. 29)

et B l'extrémité d'un arc AH égal à -f- - . Si on prend, sur le cercle,

un nouveau sens positif/'', contraire au précédent, l'arc BM (sens

positif/') est congru au complément de l'arc AM (sens positif/';.

Désignons, en effet, par x l'arc AM (mesuré dans le sens positif/] On a d'après la formule [8] de Cbasies (n" 20},

BM = AM — AB ;

(sens positif/^.

Si l'on prend pour sens positif/"', le signe de chaque arc change et, par suite, on a :

i^sens posilif /').

— C'est à cause de cette propriété du point B qu'on l'aj souvent l'origine des arcs complémentaires des arcs d'ongii/e A .