I.E(;OMS IJK TIlIGONOMli'J'HIE

Ceci posé, soit x un arc et portons cet arc ea ÂM sur le cercle, avec le sens positif /'. Soit B l'origine des arcs complémentaires. Soient a^'x, y'y, ('(ets'slesaxes des cosinus, ries sinus, des tangentes et des cotangenles des arcs d'origine A (sens positif f).

Si, en second lieu, on prend B pour origine des arcs et le sens

■rk--

A'il

posilif /*, f/',y ayant pour segment direcî.ei Ou aura

BÂ = -|- - (sens positif /*)

et x'x, ayant pour segment directeur OA. sera le nouvel axe des sinus, a'ï sera alors le nouvel axo des tangentes et ('( celui des co tangentes.

Projetons le vecteur (OM) sur x'x. Cette prrjection sera, en même temps, le cosinus de l'arc AM ^ x (sens positif f] et le sinus de l'arc BM = ^ — ;c (sens positif/''). On a donc ;

1II'1..VTI0.\S K.NTlit; LES I.lliXES IfA.IlCS SUPPI.EMKNTAIUKS, ETC. S"» En projetant de même sur y'y, on aurait, ù la fois en (H3, lii sinus do l'are AM = x 'sens /"j ol le cosinvis de BM ^^ - ■ — x (sens /'). Ce qui donne :

Si on prend le point d'intersection T [ftfj. 23) du rayon OM avec t'i, on aura, ii la fois, en AT, la tangente de l'arc AM ^ jc et !a colangente de l'arc BM = ,^ — x. On en conclut que :

et ainsi de suite.

On aura, en résumé, le tableau de relations suivantes

cos Q — x) r^ sin X, ■ sin (- — xj ^^ cos a',

' ^^ (i ~ "") ^ ™*^ "■ \ ^^^'ii U ^ -^j = ''S ^'

' séc I .-^ — .7^ j ^ coséc

^ cosec X,

Rbmarquiî. — Le cosinus, la cotangente et la cosécante tirent précisément leurs noms de la propriété qu'exprime le théorème précédent. Ainsi co-simts est une abréviation de sinm du complément. Ces noms sont d'ailleurs utiles pour retenir ces relations.

55. Remarque I. — Les relations précédentes combinées entre elles peuvent sei'vii' à en établir d'autres. Ainsi, si l'on remarque

56 l,E(;ONS DE ïlilGONOMKTIilK,

que - -l' X est le complément de — x, les l'ormulcs [29J et |26j donnent ;

cos {^ + -A = siH [— X) = — sin X,

sin {k-\- ^] =^ cos ( — x) -—-. eos X,

tg ( - + .E| = cotg [ — a;) ^ — coLga^.

56. Remarque II. — Il est bon de s'exercer ii écrire aussi les relations précédentes en prenant le degré pour unilé d'arc. Ainsi oa aura, à la place des formules [27], celles-ci :

[ cos {180 — A) = — cos A, [llf!" \ sin (180 — A) = sin A, f tg(180-A)^-tffA.

De même, les formules [29] s'écrivent :

. cos (90 — A) = sin A, [29]*" sin (90 — A) = cos A,

Ig (9t) — A) =: cotg A.