OF X OS = OM' — I
puisque OM est le rayon du cercle.
L'égalité [34] est donc exacte et on a
■e. OS et OP sont.
ir dans les Leçons de Géoisélrie de M. llsdamarfl. le
03 LEVONS ME TIUflOKOMKTItlt:,
63. Théorème. — La msikantc d'un nrc. est l'hiveise dv simis dn cet arc.
Il faut pi-oiivci' que :
[35] cûséc x . siii X ^ I .
1" Celle relalioii est vraie en signe; car, d'après le tableau des signes du n° 41, la cosécanle et le sinus ont toujours le même signe.
2" La relation est vraie en valeur absolue. Soit en effet V le point où la tangente à l'exlrêmilé M de Tare {/îg. 31) coupe l'axe y'y des sinus; et soit Q la projection de M sur cet axe. Les valeurs absolues de sinœ et coséc^r sont, respectivement, OQ et OV. Or, dans le triangle rectangle OMV, on a
OV X OQ — om' -- 1.
La relation [35] est donc exacte et on en tire :
[35]'"'* cosécx =:— — ■ .
-' sin ■!■
Remarquons encore, ici, que la formule [35] peut se déduire de
la formule [34] en changeant, dans colle ci, x en ~ — x et tenant
compte des relations [29].
64. Remarque. — Les cinq théorèmes qui précèdent fourni.'isent cinq relations algébriques entre les lignes trigonométriques d'un môme arc que nous réunissons ici dans ce tableau :
/ sin'a: -|- cos^jr= I, sin a?
II est facile de démontrer que le tableau [T] fournit toutes les relations algébriques qui peuvent exister entre les lignes trigonométriques d'un même arc; ou, en d'autres termes, que toute autre relation est une conséquence de celles-ci. Supposons, en effet, qu'il
lŒI.ATlO^S ALCÉHItlQUES KM'RE LES l.ICISKS Dl]> MIÎMC ARC. B3
puisse exister une relation algébrique (B), entre les six lignes, qui ne soit pas une conséquence de celles du tableau [T]. De la première des relations [T], tirons
siiix-==h v'I — cos^a^
et portons cotte valeur dans les quatre autres; nous aurons ainsi exprimé sina;, tga', cotga:, séca; et coséc>c en fonction de cosa'. Portons ces valeurs dans la relation (R) ; cette relation ne contiendra plus que cosa; et, si, comme nous le supposons, elle n'est pas une conséquence du tableau [Tj, elle ne sera pas une identité. On aurait donc, ainsi, une équation en cosa? qui devrait être vérifiée par le cosinus d'un arc quelconque et par conséquent pour une infinité de valeurs de l'inconnue; ce qui est impossible. ,
On peut donc afiirmer que toute nouvelle relation algébrique entre les lignes Irigo no métriques d'un même arc pourra être obtenue en combinant convenablement les relations fondamentales [T].
La relation [33] en est un premier exemple.
65. Autres relations. — Des relations fondamentales [T] ou peut tirer deux autres relations qui sont d'un usage fréquent.
l°On a :
En elTet, d'après la formule |"31], on a :
, , sin^ X cos^ x -\- sin^ x
' + '« '-'+c-s?ï = — Srfï — ■
Le numérateur de cette dernière fraction est, en vertu de la relation [30], égal à I ; et la relation proposée est établie. 2" On a, de même,
[37] 1 4- totg^^ = ^-^ = coséc^r.
De la formule [32j on tire, en efi'et,
1 + cotg^ X ---= 1 -h ^^^ = ^'"' '^ ."^ '^'^^ '^ . ' ^ sm- x sm^ a,'
En vertu de la relation [31], le numérateur de la dernière fraction est égal àl.
131 LLÇONS DE TlilGONOMETUIE.
Remarque. — On peut passer de la formule [36] à la formule [37]
en remplaçant, dans la première, x par - — ar et tenant compte
des relations entre les lignes de deux arcs complémentaires [29]. La relation [36] donne, en effet,
cos^ ( - — x\
qui devient la relation [37] lorsqu'on remplace tg t^ — ■'■] par
cotg x, etc.
66. Applications. — Les relations fondamentales [T] permettent de résoudre la question suivante :
Calculer toutes les lignes trigonomélriques d'un arc, u a sa l l'une d'elles. En effet, si, dans les relations [T], on considère une des lignes comme connue et les autres comme inconnues o a li in système de cinq équations à cinq inconnues qu'il suflit de i^so dre
Nous traiterons deux exemples.
67. Problème. — Calculer toutes les lignes Irigonomélv'iques d'un arc, connaissant son cosinus.
La première des relations [T] donne :
Portons cette valeur dans les autres et il vient :
IJX +*'*
