COS

cosec X z:^ ±- ,

\[ — cos^ x'

Dans toutes ces formules les doubles signes se correspondent.

On trouve, comme on le voit, pour toutes les lignes trigonométriques, sauf la sécante, deux valeurs égales et de signes contraires. Ceci s'explique aisément.

Ce qu'on connaît, en effet, ce n'est pas l'arc x mais son cosinus.

liELATIOXS ALGÉBRIQUES F.NïllE LES LIGNES ll'm MÊME ARC. 65

Or, comme nous l'avons vu (n° 46), il y a une infinité d'arcs admettant un cosinus donné et ces arcs sont compris dans la formule [23] :

a. étant l'un d'eux. Ce que nons avons donc Li'ouvo ce sont les lignes Irigonomotriques do tous ces arcs. Mais on a :

8in(2i,±.

— ± sin a,

tg(2*>,±.

= ±lg,,

cotg(2i,±.

= d= COLg a

séc(2i.±.

= sec a,

coscc(2i.±<i

— ± cûséc

ce qui montre que tous ces arcs ont deux valeurs, + si» a et — sin a, pour leurs sinus. De même pour les tangentes, cotangentes et cosécantes; mais ils ont tous même sécante.

On pourrait encore expliquer ce double signe de la laçon suivante :

Nous savons que tous les arcs qui admettent un cosinus donné, et ont même origine A, ont leurs extrémités en l'un de deux certains points M et M', symétriques par rapport à l'axe x'x des cosinus (voir fig. 26, page 51).

Il est, alors, aisé de se rendre compte que toutes les lignes trigonométriques des ares terminés en M sont égales et de signes contraires à celles des arcs terminés en M', saut le cosinus (qui est donne) et la sécante qui ont même valeur (voir n" 51}.

68. Problème. — Calculer les lignes trigonométriques d'un arc connaissant sa tangente.

Lu fornmic [36] donne, de suite,

l/l + is'i

± l/l + Ig'j-.

Eu portant la val

ur de cos x dans la fornii

^ tg»

V'i + ls'o:

et, par suite,

c„séc X =

Igi

Leçons de Trioo

OMÉTHiE.

6 I.KÇO?iS DE TUIC.OrJOMÉTIllE.

lùiiin, la foriiuili! [33| donne :

Comme dans le problème précédent, on trouve pour la majorité des lignes deux valeurs. Ceci s'explique de la même façon.

La donnée est tga; et ce qu'on a calculé ce sont les autres lignes d'un arc admettant cette tangente. Or, comme nous l'avons appris {n" 48), il y a une infinité d'arcs a: admettant une tangente d ces arcs sont compris dans la formule [25] :

ï étant I'liû d'eux. Tous ces arcs n'ont pas inémn

Sin {/m + a) = sin a,

Séc {ki: + a) = Séc «,

coséc [l;-K -J- a) = coséc a;

mais, si /; est impair, oii a :

cos {b-K -[- a) ^ — cos a, sin (Aîc -j* "^l — — sin a, séc (iir 4- a) = — séc a.

On voit donc bien que les lignes précédentes de tous les arcs x ont deux valeurs égales et de signes contraires.

On expliquerait encore ce double signe en se reportant à la figure 28 (page 52} et ^n raisonnant comme au n" 53, Car tous les arcs qui admettent une tangente donnée AT ont leurs extrémités en l'un de deux certains points M et M', diamétralement opposés.