Calcul des lignes trig^onoinétrlqnes des arcs
— Nous allons monlrer que, dès qu'on sait inscrire dans un cercle un polygone régulier de n côtés, on sait aussi calculer exactement
les lignes trigonomé triques des arcs—, p étant un entier quelconque. Pour cela, il suffit de montrer que l'on sait calculer une de
KELATIONS ALGKDlilIJUES EiNÏEiE LKS LlG?iES D'UN MKME ARC- 67
ces lignes, le sinus par exemple, et, alors, grâce aux formules [Tj, OQ saura calculer toutes les autres.
70. Théorème. — Le sinvs d'un arc positif, plus petit qu'un quadrant, est égal à la moitié de la mesure de la corde qui sous-tend Varc double.
{Cet énoncé suppose que le rayon du cercle est égal à l'unité de longueur.)
Soit, en effet [fig. 32) un arc AM positif, plus petit qu'un quadrant, et abaissons de M les perpendiculaires MQ et MP sur l'axe des sinus y'y et sur l'axe des cosinus idx. Le sinus de l'arc r~\
AM étant positif, a pour mesure la longueur OQ ou la longueur égale MP. Prolongeons MP jusqu'au second point de rencontre M' avec le cercle.
P est le milieu de MM' et
sin (AM) ^ MP =
ïî'
ce qui démontre la proposition car MM' est la corde qui sous-tend l'are M'AM double ''''"■ ^^■
de l'arc AM.
71. Corollaire. — Le sinus de l'arc - est égal à la moitié du cèii
du polygone régulier convexe de a côtés inscrit dam le cercle.
Car le double de l'arc - est — et c'est l'arc qui est la n'^"" partie
de la circonférence. C'est donc l'arc dont la corde est le côté du polygone régulier convexe de n côtés, inscrit dans le cercle.
Plus généralement, le s
de l'arc — (p premier i
: n et plus
petit que - j est égala la moitié du côté dupolygone régulier étoile dex\
côtés obtenu en divisant la circonférence en n parties et joign de division de p en p.
miles points
68 LEÇOr^S DE TRIGONOMliTlillî.
Car la «*^"'f partie de la cireonférencc a pouv mesure — . bi on
prend /i de ces parties, oiiaim arc valant-^, ce qui est le double
de — .
72. Applications. — 1° Le côté du carré insci'it dans le cercle de rayon 1 a pour mesure \/2 {'}. Ici ji = 4, on a donc :
On en conclut
= /l-sin^^ = \/l
car, ici, il faut prendre le signe (+) puisque le cosinus d'un arc du premier quadrant est positif. En divisant, on a :
2" Le côté du triangle èquilaiéral est v"3- Ici, n — 3, donc :
sin ^ ^= sin 60" = — ; 'i° Le côté de Yhexagone régulier a pour mesure 1, Donc :
On peut remarquer que, les angles tî et ^ étant complémentaires,
cos - = sin ~ == -
RELATIONS ALGÉ«K1QUES ECTItE LES LIGWS D'UiN SIÉME ARC. 69 4" Le côté du ihkagone régulier convexe a pour mesure — ^ — .
I-e côté (lu déoagone régulier étoile ayant pour mesure — ^-^ et
ce décagone s'oblenant en joignanl d« 3 en 3, on a : ;3 =^ 3, « ~ 10. Donc :
sm^ = smg4" = ^— .
b° Le côté du penlcujùtie rùgulier convexe a pour mesure - V^IO— 2vB. On a done :
sin ^ = sin 36- = ^ ^10 - 2^5-
Le cùté du pentagone régulier étoile, obtenu en joignant de 2 en 2, étant - ^\^ +2VS, on a :
sin ^ = sio 72" =\^m + 1. i/5.
part, sont complémentaires, on a, de suite, les cosinus i angles :
cos^ = sinÇ = WlO + 2v3,
it .3= i/S + 1 cos- = s,njj=^,
2it . I v'5 ^ 1
LEÇONS Ut; TIlIGONOliÉTRIE.
Réunissons tous ces résultats en un tableau :
iï'
Arcs mesurés avec le
rayon
^v/io+sv/s
"ÏÔ
^Vio+aVs
v'io+av/s
Vo" -h 1
l\/jo-av'!i
Il est bon de connaître par cœnr, sinon tous * moins les premiers.
EXERCICES
15. Calculer les lignes IrigonoiLnJiriijues ci'iiii are, connaissaiv sécante. — Expliquer les résultats.
