CHAPITRE VI ADDITfON ET SOUSTRACTION DES ARCS
73. Énoncé da problème. — Le problème dit de l'addition et de la soustraction des arcs est le suivant :
Connaissant les lignes (rlgonométriques de plusieurs arcs, calculer, en fonction de ces lignes, les lignes trigonométriqites d'une somme algébrique de ces arcs.
Comme la sécante, la cosécante et la cotangente sont, respectivement, les inverses du cosinus, du sinus et de la tangente, il suffira de traiter la question pour les trois dernières lignes.
74. Somme de deux arcs. — Calcnl de cos [a -\- b). — Soient a et ô deux arcs. Portons, sur le cercle tri go nom étriqué {flg. 33), un
/■~\ arc AM égal à a. Puis, du point M comme origine, portons un
nouvel arc MN égal à fi. D'après la formule [9], on a :
MS. s: AM + MN^a + ù.
L'une des déterminations de l'arc AN est donc a -\- b. Les arcs AM et AN, ayant pour origine A, l'axe de leurs est l'axe ox qui a pour segment directeur OA. L'arc MN ayant pour origine M, son axe des cosinus est l'axe
*S LKÇONS IJE TliHlONOMÉTIilE.
i^ni a pour segment difccteur ÔM ei son axe des sinus est un axe oï/, lel c|iic
Abaissons du poiiU N les perpendiculaires NP et NQ sur 0.1,0! (i;/i. Par définition du cosinus et du sinus, on a ;
OP = cos b, OQ = Sin ù.
Ceci posé, le vecteur (ON) est la réaultanle (iV 2, Iteui..] des vecteurs (OP; et (OQj.Oii a doue, en appliquant le tliéorènie des
projections (n" 8) et en projetant ces trois vecteurs sur un axe quelconque :
(l;. proj. m) = pi-oj. (OP) + proj. (ÔÔ).
Projetons sur l'axe x'œ. On a, par définition du cosinus,
(2) proj. (ON) = cos (AN) = cos [a + h).
D'après le théorème foudamenlal du n" i^i, la projection du
ADDITION ET SOUSTRACTION UtS AliCS. 73
segment OP, porté par t'axe oxi, est égale à ce segment multipliii par le cosinus de l'angle ox, ox,. On a donc
(3) pi-oj. ÔP — OP ces [ox, ox^) = cos h ces o,
car l'aQgle ox, ox, a même mesure que l'arc AM = a.
Le segment OQ étant porté par l'axe oij,, on a aussi ;
pi-oj.(ÔQ) =ÔQcos {ox,oy,].
Or, on a, d'après la formule [15],
ox, m/, = ox, ox, + ox„ oy, := « + |'
On en conclut
(4) proj. (ÔQ) -^ sin b cos (ci + ^] = - sîn ft sin a.
Les égalités (1), (2}, (3) et (4) donnent, aloi-s, la formule cherchée:
[38] cos (n -]- 0) ■= cos a cos li ~ sïn a sin 6,
qui donne cos {a + l>) connaissant cosii, sin a, cosô et siu^.
75. Calcul de sin (a -f- b). — Conservons les mêmes notations qu'ail numéro précédent et soit {fig. 33) j/'y l'axe des sinus relatif aux' arcs d'origine A. On a ;
ox,ny = ^^.
Ceci posé, projetons le vecteur (ON), résultante des vecteurs (OP) et(OQ),sur?/,y.
On aura, par définition du sinus,
(5) proj. (ON) = sin AN = sin [a -^ b).
Le segment OP étant porté par l'axe ox^, ou a, eu vertu du théorème fondamental (n" 44), en projetant sur oy,
proj . (ÔP) = OP cos {otj, ôx,).
71 Li;i;O.NS DK ÏUiCD.NOMKTHIK.
Or, on a, d'après la formule [14],
el, par suite,
(6) proj. (OP) =: cos6 cos la — -J =:cosè siniC).
lilnfin, OQ étant porté par o)/,, on a en projctaul sur oy,
proj. (OQ) = OQ cos {oy, oy,).
Mais, ou a,
'ly, 01/, :^ oy, ox -|- car, oa;, + ox,, 0)/j,
On en conclut qiie
(7) pi'oj- (OQ) = sine cosf'.
Comme
proj. (ON) = proj, (ÔP) + proj. (ÔQ),
Les forninles (S), (6) et (7) donnent :
[39] sin(a -\- h) ^ sino. cos6 -{- sin/i cosrt,
qui donne sin((i -|- è) en fonction de sina, sia It, cos a et cos 6.
Remauque. ^ La formule [39] aurait pu se déduire de la formule [38] de la façon suivante :
Appliquons aux deux arcs - -j- a et 6 la formule [38] qui donne
le cosinus de leur somme, on a :
(S) cos(j+a + *)=c»,(^+«)«,S-,i„(^+„)»i,,S.
Il) Car on 3
ADMTrO.'J ET SOUSTKACTIOiN DES AllCS.
Or, d'après lus formules lIu n" 55, on a :
sin i~-\- a] ^ cosf7.
En remplaçant dans régalité (8) et cliangeanL les signes des deux membres, on trouve la formule [391.
76, Calcul de tg (a + A). — Pour avoir tg (a + h], il siifiit de divisée, membre à membre, les formules [38] el [39] cl, il vient :
Divisons les deux fermes de cette dernière fraction par cos •* cosft cl nous obtenons :
lg(n
cos
o + cosS sin a sin & ■ cosn cosi
Ceci donne,
eol
in, la
, formi
Lie cliûrchée :
j+ IgS
qui donne tg [a -\- b) en fonction de tg a et tg b.
77- Différence de deux arcs.— Les formules [38], [39] el [40] sont absolument générales et s'appliquent quels que soient les arcs a et b, car il n'a été fait aucune restriction, sur la nature de ces arcs, dans les démonstrations qui précèdent. On peut donc les appliquer aux deux arcs a et — ô et on a ainsi les lignes de la différence a — b :
cos (a — 6) — cos « cos ( — b) — sin a sin ( — b),
sin {a- — b) = sin a cos ( — b) + sin (— fi) cos a,
'SI" '')-l,g„ig(J)-
70 LEÇONS DE TIlir.O?iOMKTI!lE.
Or, d'après les formules [26J, on a :
cos( — II) = cos6, sin (— È) =j — sine, lg(~b)=-lgb,
et les formules précédentes deviennent:
[38]'''* cos [a — b] = cos a cosb -^ sin a sin è, [39]*" sin (a ~b)=. sin a cos 6 — sin b cos a,
Resiaeque.— Si, dans la formule [âS]*'* on fait a = 6, on retrouve, en observant que cosO = 1, la formule [30]
1 ^= cos^a -\- sm^a.
78. Somme de plusienrs arcs. — Des formules qui donnent la somme de deux arcs, il est facile de conclure celles qui fournissent les lignes tri go nom étriqués de la somme d'un nombre quelconque d'arcs en fonction des lignes de ces arcs.
Prenons d'abord une somme a -\- b ~{- c de trois arcs. Si on considère a -\~ b -{- c comme la somme de n -f- b et de c, on a, en appliquant les formules qui précèdent :
cos (« -f ^ + c) = cos {a -j- b) cos c — sin {a -\- b) sin r:, sin {a + b + c)^ sin (a + b) cos c + sin c cos (h + b), tg(a-j- j.)-|-ti
tg {a + b + c) =
\-tg{a + b)lgc
Remplaçons, dans les seconds membres, cos {a -j- b), sin [a -|- b), tg (a -\- b) par leurs valeurs tirées des formules [38], [39], [40] et il vient, toutes simplifications faites :
cos
= cos«
cos 6
cosc —
sin a
sini
cosc
— a'inb
cosc cos
sine cos
■ a cos 6,
sin
= sin a 1
zosb
cosc +
sin S
cosc
cos a
+ sine
cos a cos
sin a sin b sii
tg(fl
tg« + 1-tg«
igb Ugb
-Ig*'
-tgû tgc-
^tg*
.tS£
- tg
c tga'
De même, pour calculer les lignes trigonométriques de l'arc i ■■]- b ~\- c -\- d, on considère cet arc comme la somme de « + * + ^
ADDlTIOÎf Kl SOUSTRACTION DES ARCS. 77
et de d. On appliquera les formules de la somme de deux arcs ; puis, dans les seconds membres, on remplacera les lignes de a + ^ + ^ par les valeurs ci-dessus.
El ainsi de suite. On calculera, de proche en proche, les lignes d'une somme d'aulant d'arcs que Ton voudra.
79. Pofiiiiiles f^i-ii&ratc» {'). ~ Soient m nrcs (i, b, c, ... A, I. l'osons
T. = t-ia + lgb + lue + ... + tgt + Ish T^^ tsntg6 + lg6lsc + tgclgn + .... +te* tgï,
T3 désignant la somme des produits deux à deux des tangentes des m arcs. D'une manière générale, désignons par T la somme des produits j) kp de ces m tangentes; el, enfin, soit
le produit des m tangeutes.
Nous allons montrer que l'on a :
[al cos (a + b 4- c 4- .- + k + l) =
cosucosÈcosc ...cosft cos;[l— Ti + Tj — T6+....I,
[j3] sin (« + 6 + e + ... + fc + /> -
cos II cos b cos f* cos h os / l'T T -I- T ■ T- -^ ^
M ig(,+t+,+...+i+i)= i'.|.^'^:.|,;„,;;.^-; . ■
Dans le crochet de la formule [a] figurent toutes celles des soiiimes Tj, T2, Tj, .... T dont les indices sont pairs, prises dans Tordre des indices croissants et, alternativement, avec les signes (^) et (+). Dans le crochet du second membre de la formule [p] figurent toutes celles de ces sommes dont les indices sont impairs, dans l'ordre des indices croissants et, alternative ment, avec les signes (+) et (— ).
La formule [f] est une conséquence évidente des formules [a] et [p] que l'on obtient en les divisant membre à membre; il suffit donc de démontrer les formules [a] et [p].
80. Lemme. — V désignant la somme des produits p d p des (m — 1) tangentes tga, tgô, tgc, ... tgft et ï la somme des produits p « p des m tangentes tga, tg6, tgc, ... tgÈ, tgi, on aies relations :
(2) T^=T;, + lgl-T;,^,,
(3) T;„=tg^- t;„,.
78 LEÇO^fS DE TdlGOKOMKTHIK.
La relation (1) esl évidente car, si à la somme 'ï[ des (m — 1) tangentes tgo, .... tgA on ajoute tgl, on obtient, évidemment, la somme T, des m tangentes t»a, .... tgÈ, Ig?,
En second lieu, soit ï [p < m) la somme des produits p à p des m tangentes tga, ... tgft, tgi. Dans cette somme, réunissons ensemble tous les produits qui ne contiennent pas tgi, ce sera évidemment la somme T des produits p à p des (m — i] tangentes autres que tgi. Tous les produits restants contiendront tg(; mettons-y tgi en l'acteur. La somme que multipliera tgl sera une somme de produits de (p— 1) tangentes autres que tgJ et il est aisé de se rendre compte que cette somme comprendra,
est donc 'l'',, et on a bien ;
.uUiplie le produit T^„,, des obtient le produit ï„, des
liuQii, l'égalité (3) est manifeste; car si [m- — 1] tangentes tgn, ... tgA par tgî, m tangentes tgo, tg6, .... tgt, tgL
81. Démonstration. ~ Ceci posé, pour démontrer que les formules [a] et [p] sont esactes, nous allons d'abord vérifier qu'elles sont esacles dans le cas de m = 2. Si, en effet, on met dans les formules [38] et [39j le produit cosacosù en facteur, on trouve :
cos(« +ù) = cos((cos6 fl-
sin(a4-&)-eosacos&[^^4
s(a-}-6) = cos« sin {a + h)=c
[l tf;r<tgi| =c
os6[tsa^tg6J=:
On pourrait encore vérifier l'exactitude de ces formules dans le cas de 7i = 3. En mettant, dans les formules dun''78, cosn cos6cosc en facteur, on trouverait, de même,
sin (« + 6+c)^cosacos6cosc[Ti — tJ.
Pour prouver que les formules [a] et [p] sont générales, nous allons prouver que, si elles sont vraies pour m^i arcs, elles sont vraies
Supposons, pour (m — 1) arcs a, b, ... ft,
(4) cos(«4-6 + ...+fi') = oosa
(5) sin(« + & + .- + /(} = cos«
effet, qu'on ait, en conservant les
■jik [i — r^ + r;— T;-i-..
