Application II. — l'i-cmaformer la somme

en mi'produ'u On a :

siii H + sin C — sin (A -|- B -|- C)

sin A - Mil i.A + lî ^ C) = - 2 sin î^^-5 cos (a + ^4^),

En ajoutant, on a donc :

sii) A H- siii li + sin C — siu (A -|- B -]- C)

Or, d'après [50],

on a donc, finalement,

{']) sinA-f- siiiB + sinC — siii(A+B + C)

. B + C . C + A . A + ti

RE1I.1EQUE. — En remplaçant, dans la Torinule (1), A, B, C, respectivement, par 90° — A, DO" — B, 90° — C, on a la nouvelle l'ormnle :

(2) cos A -h cos B + cos C + cos (A + B + C)

B + C C -h A A + lï

yGoosle

TKANSFOKMATION DES SOMMES EN PRODUITS. loa

Cas particuliee. — Dans le cas particulier où les angles A, B, C sont les trois angles d'un triangle, on a :

A + B + Cr^]80",

et les formules (]} et (2) deviennent :

(3) sin A + sin B + sin C — 4 cos - cos - ei

(4) cûsA -|- c

î + cos C — 1 = 4 sii

95. Application III ('). — Somme des i progression ar'dhmêtiqv.e.

SniL :

la somme des cosinus de m arcs en progressii le premier lerme et r la raison.

( des sinus d'arcs i

ao^[a + {n-i]r] lithmétique ('), « étan'-

Considérons les produits des divers termes de celte somme par 3 sia 5 et transformons ces produits en différences. On aura, en appliquant les formules [49],

3cos(a + ,-)siug = 2 cos {a -t- âr) sin - -

tiSO de mei Leçons d'Algàbrs.

]0i LEÇOKS DE TfllGOKOMÉTIUE.

Ajoutons lûutes ces égalités, membres à membres. Dans le premier

membre, nous pouvons mettre 2 sin - en facteur. Dans le second membre,

tous les termes se détruisent deux à deux sauf le dernier terme de Ja première Égalité et le premier terme de la dernière égalité. Il vient donc :

Remplaçons le second membre par im produit :

et Ton a, enfin,

Posons, de même,

S' = sin a + sin [a + .■) + sin (^ -[- 2r) + ... + sin [a -f- [n - i)r].

On peut calculer S' de la même façon que nous avons calculé S en considérant le produit 2S'sLn - et faisant les mêmes transformations; mais il est facile de déduire directement la valeur de S' de celle de S. Remplaçons, en effet, dans l'expression de S, a par ^ + a. Si l'on se rappelle (n° 3S) que

on ïoit que cette transformation change S eJi — S', Effectuons-la sur les deux membres de l'égalité (!) et il vient r

sin - sin-

ïli.LNHFORMATlO.'J DES S0MJ1ES K« PilODClTS. 105