VALEURS APPROCHÉES DES LIGNES TRIGONOM ÉTRIQUÉS

98. Théorème. — ■ x élant la mnsvre d'un are positif, plus pelil qu'un cjtiadrani et mesuré avec le rayon du cercle pris pour vnitè, on a la double inégalité :

[54] sin ic < ï < tg X.

Soit, en effet, AM {fç/. 36) cet arc œ. Comme il est posilil' et plus petit que - , sin x et l^x sont positil's ut on a :

sinj:' = MP, tgx = AT,

les longueurs MP cl AT Étant mesurées avec le rayon OA pris pour unité.

Ceci posé, si on compare les aires des deux triangles OMA, OAT et du secteur OAM, on a évidemment :

aire ir. OMA < aire sect. OAM < aire Ir. OAT.

Remplaçons les aires par leurs expressions; il vient :

- OA X MP < - OA ;< arc AM < - OA X AT.

yGoosle

10 i.i:i.;o.NS i)i; ïiin;o.\OJiÉr[iiK.

Ceci donne, en divisant les trois membres par - MP < arc AM < AT,

ce qu'il fallait démontrer.

99. Théorème. — Le rapport d'un arc [mesuré avec le rayon pris pour tiniié) à son sinus tend vers l'unité lorsque cet arc tend vers zéro.

1° Supposons d'abord cet arc x positif. Puisque nous le faisons tondre vers zéro, nous pouvons toujours supposer qu'il est plus

petit que ^ et, alors, on a, d"aprÈs \a théorème qui précède [54],

Divisons les trois membres par sin x, ce qui ne change i puisque sin x- est positif, il vient :